作者：清华大学建筑学院,贾珺
出版社：清华大学出版社
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建筑史（第31辑）试读：
“十二律”
——研究中国古代建筑理论的一个视角秦佑国（清华大学建筑学院）Twelve Temperament
——a new angle of research on Chinese ancient architectural theory
Qin Youguo
摘要：对中国古代乐律学的“十二律”应用于中国传统建筑和传统文化研究，以建筑声学和建筑热工的专业理解，加以解读。可对建筑物理研究者有所启发，亦可供建筑历史与理论的学者参考。
关键词：十二律，立杆测影，中国建筑史
Abstract: From the angle of architectural acoustics and climatology, how Twelve Temperament, a law of chinese ancient music theory, be used to research of Chinese traditional architecture and culture is discussed in this paper. It may give an enlightenment to the researcher of architectural physics, and a reference to the scholar of architecture history and theory.
Keywords: twelve temperament, the heliometer, history of chinese architecture一 引言
最近这一年，笔者为中央美术学院建筑学院和清华大学建筑学院的学生开设了《建筑数学》课，介绍数学的一些基本概念和知识与建筑学的关系，以及对建筑设计和建筑创作的启迪，以期引起建筑学专业学生对数学的兴趣，认识到“数学是受过高等教育者的一种文化修养”。课程中有音律划分的内容。备课期间，收到王贵祥教授和张杰教授分别赠送的刚出版的著作：《中国古代木构建筑比例与尺度研
［1］［2］究》和《中国古代空间文化溯源》。阅读后看到，两本著作都涉及“十二律”，这原本属于古代乐律（亦即音乐声学）问题，却都和建筑发生了联系。王贵祥教授在《与唐宋建筑柱檐关系》一文中写道：“唐宋建筑中存在的这种倍的比例关系，很可能还有更为深广的中国古代文化背景。……尤其在音乐中，更以所谓‘方圆相涵’的原理，作为乐律计算的基本理论。‘方圆相涵’原理之中，实际就已包含倍的比例关系。”“中国古代乐律，一般称之为律吕，是指中国古代音乐中的十二律，即所谓六律、六吕。”“这十二律，实际上【1】是指由12个长短不等的律管产生的十二个不同高低的音。”张杰教授在其著作中研究了中国古代“律管候气”，论述了“十二律与黄赤交角”，他在后记中写道：“经过大量比较数据和反复考证文献，我终于发现十二律不同律管长度之间的比例与北纬35°二至（冬至和夏至）晷影之间的内在关系，从而揭示了反映一周年晷影的变化正常与否的十二律对以礼文化为核心的中国古代器物文化的系统性影【2】响。”天津大学王其亨教授也曾说到：“材分八等与中国古代音乐有关。……第一至第八等之间，其材等之广的尺寸数值及递降规律，【3】同自黄钟及青黄钟之间的各律管长及递降规律相谐和。”三位教授从不同的方面：唐宋建筑比例，“立杆测影”（冬至和夏至间晷影变化），营造法式材分制，研究了中国古代建筑与中国古代乐律“十二律”的关系，为中国古代建筑的理论研究开辟了新的视角和新的切入点。二 现代声学的“十二平均律”
要弄清楚中国古代的“十二律”，可以用现代声学的概念和原理了解音调高低的分辨和标准的确定。声学的基本常识告诉我们，人耳对音调高低的分辨，取决于所听声音的频率（Hz），如果是纯音，就是其频率，如果是复音，就是其基频。频率高则音调高，频率低则音调低。一般人难以准确地给出所听声音频率的绝对数值，但当频率加倍后，都能判断出音调高了八度，如从do（1）变到高音do（）。也就是建筑声学中常说的，一个倍频程等于八度音程。钢琴键盘上的中音A是440Hz，高音A就是880Hz，低音A是220Hz。八度音阶的唱名就是：do（1）、re（2）、mi（3）、fa（4）、sol（5）、la（6）、si（7）、do（）。它们的频率关系是什么？前面已经提到，高音do（）的频率是do（1）的一倍。设do（1）的频率是1，则高音do（）的频率是2，其他音的频率呢？众所周知，mi（3）与fa（4）之间，si（7）与do（）之间是“半音”，而其他do（1）与re（2）之间、re（2）与mi（3），fa（4）与sol（5）之间、sol（5）与la（6）之间、la（6）与si（7）之间是“全音”，即八度音程包含2个“半音”和5个“全音”，一个“全音”相当于2个“半音”，八度音程共包含有12个半音，即八度音程可以划分成12个区间，也就是一个倍频程，划分成12份。如何划分？在建筑声学测量中，有1/3倍频程的概1/32/3念，即把一个倍频程划分成3份：1，2，2，2；现在要分成12份，0/121/122/123/124/125/126/127/12显然是：1=2，2，2，2，2，2，2，2，8/129/1210/1211/1212/122，2，2，2，2=2。写成小数（近似到小数4位）1，1.0594，1.1225，1.1892，1.2599，1.3348，1.4142，1.4983，1.5874，1.6818，1.7818，1.8877，2，这实际是一个等比数列，公1/12比为2（）。上述12个数中包含8个唱名：do（1）、re（2）、mi（3）、fa（4）、sol（5）、la（6）、si（7）、do（）。这就是现代音乐声学的“十二平均律”。钢琴键盘上，每个键（包括黑键和白1/12键）之间差一个“半音”，频率之比是1∶2（1∶1.059463）。这种分法既符合人耳的听觉特性，又可方便地进行转调，以任何一个键作do（1），都可以方便地得到八度音的8个唱名音（图1）。图1 钢琴键盘排列示意图三 毕达哥拉斯与“五度相生法”
公元前6世纪，古希腊哲学家毕达哥拉斯及其学派提出“万物皆数也”，认为世界万物都可以用整数和整数的比来表示。古希腊就知道弦可发声，不同长度的弦发出的音，音调不同。毕达哥拉斯企图用弦长的1/2，2/3，3/4……来划分音阶，发现弦长减半，即原长的1/2，也就是现代声学的频率增加一倍，为2，音调提高八度；弦长是原长的2/3，也就是现代声学的频率增加为3/2=1.5，定为五度。如果原来弦长发音为do（1），2/3弦长发音就是sol（5）。它和现代十二平均7/12律的值2=1.4983非常接近，人耳难以分辨两者的差异。然后在此基础上再做八度音程的细分，这叫“毕达哥拉斯率”，因为是以五度音程为基础生成全部音阶，所以又叫“五度相生律”。但因为现代的十二平均律是以（2开12次方）的各次幂来划分的，都是无理数，不可能用整数比来表示，所以“五度相生律”不可能用整数比的连乘，即1/1，2/3，3/4……反复连乘，得到半弦长度的1/2。而弦长减半为1/2，频率加倍，是八度音程，这是不能改变的“定律”。所以“五度相生律”相生八度音阶，不能“还原”，有差值存在，称为“毕达哥拉斯差”。顺便说一下，毕达哥拉斯在数学上最伟大的成就是“毕达哥拉斯定律”，即中国古代的勾股弦定律。但他的一个弟子发现，边长为1的等边直角三角形的斜边长度，不能用整数比来表示，这违背了毕达哥拉斯学派的宇宙哲学，他把这个秘密说了出来，结果被学派的其他成员扔进河里。后来被称为“无理数”。四 “黄钟律吕”与“三分损益法”
中国古代对乐律十分重视，被作为礼乐制度重要的方面。《论语·泰伯》曰：“兴于诗，立于礼，成于乐。”礼乐制度起源于西周时期，相传为周公所创建，“制礼作乐”。它和封建制度、宗法制度一起，构成整个中国古代的社会制度。礼乐制度分礼和乐两个部分。礼的部分主要对人的身份进行划分和社会规范，最终形成等级制度。乐的部分主要是基于礼的等级制度，运用不同的音乐和仪式予以配合。
正因为“乐”与国家制度有关，制定统一的乐律就是国家重要的事务。统一乐律，有两件重要的事：一是确定标准音（高），一是统一音程划分。古代没有声音频率的概念和测量方法，只能用以国家名义制作的某种乐器发出的音作为标准。西周时代已有八种乐器（八声）：埙、笙、鼓、管、弦、磐、钟、柷。很显然，在这八种乐器中，用金属制成的钟，声音最洪亮，器形最稳定，材质最耐久，所发声音经久不变，最适合作为标准器。钟体大，音调低，钟体小，音调高。制定一套标准的大小不一的钟，就可对音调确定标准。成书于战国初期的《国语》，记载有周景王二十三年（公元前522年），周景王想铸造钟，曾向名叫州鸠的乐官询问有关音律问题。州鸠讲了关于律和数的关系，并列举了十二律的名称。体型最大的钟，即发音频率最低的被称为“黄钟”，其发的音也就作为音律的第一率“黄钟”。十二律的名称，以频率由低到高排列是：黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾、林钟、南吕、夷则、无射、应钟。其中序数是奇数的6个称为“六律”，序数是偶数的6个称为“六吕”。所以十二律又称“律吕”。
但钟的铸造代价高，复制困难，尤其是钟壁厚薄很难控制。后来倾向于用管，管长长音调低，管长短音调高，管长减半，音调升高八度。每个国家都制定有长度标准（尺、寸），制定一套标准的长短不一的管，就可对音调统一标准。但当时的管是竹管，容易变形、开裂和霉腐，不耐久。而钟是金属铸造，不易损坏变形，有耐久性。于是就想到以一套标准钟的音调为准，为与其音调相谐的管的长度定标。管可以方便地复制，控制长度即可。反过来，只要这个钟还在，就可以用它的音调确定管的长度，则国家的长度标准也就确定和传承了。这就是，以音律定国家长度标准（度），以长度标准定容积标准（量），以权重（一定体积的铁）和秤杆刻度（长度）或天平定重量（衡），于是度量衡三者都可定矣。这就是“黄钟律吕”除了“正声”以外，还与国家度量衡定标有关（图2、图3）。图2 曾侯乙墓出土的编钟图3 出土的律管
宋徽宗崇宁三年（1104年），在今河南商丘出土了6件春秋时期宋公成钟。因该钟出土于宋地，宋徽宗认为是祥瑞之兆，遂设立“大晟府”，以宋公成钟为式样铸成“大晟钟”，计12编，每编28只，共336件，每套钟基准音高都是黄钟宫，发送州府，作为标准音律定音。大晟钟是宋代朝廷重要的测音和定音工具（图4）。图4 宋大晟钟（开封博物馆藏）
中国古代如何把一个八度音程划分成十二份，以对应“十二律”呢？其方法就是“三分损益法”。《吕氏春秋·音律》卷六：“三分所生益之一分以上生，三分所生去其一分以下生。”《史记·律书》：“以下生者，倍其实，三其法；以上生者，四其实，三其法。”都是说的以黄钟律管管长为1个单位长，分成3等分，做“损”的操作，就是去掉三分之一，剩三分之二，管长变成2/3（倍其实，三其法），发音频率增高为黄钟（设为do）频率的3/2（1.5），作为“林钟”（sol）；然后再把现有管长3等分，做“益”的操作，就是管长加长三分之一，管长变为4/3（四其实，三其法），这时，管长是原来黄钟管长的2/3×4/3（8/9），频率变为9/8（1.125），作为“太簇”（re）；再做“损”，管长9/8×3/2（1.6875），作为“夷则”（la）；再做“益”，27/16×3/4（1.265625），作为“姑洗”（mi）；……但辗转多次，误差已经较大。三分损益辗转相生第12次所得的第13律，管长度略短，1912两者的长度比是2/3（0.98654），而不是1，频率比是其倒数1.013643，音高略高于首律黄钟。这就是中国古代律学中有名的“仲吕上生不及黄钟”的问题，亦即“黄钟不能还原”。这和古希腊毕达哥拉斯“五度相生法”一样，企图用整数1、2、3、4的比值辗转相乘来把八度音程（一个倍频程）划分成12份，即12个半音，总是和2开12次方的各个幂次的无理数值不能吻合。只是前4次“损益”得到的数值误差较小，即do、sol、re、la、mi，按音调从低到高排列，do、re、mi、sol、la，对应的正是中国古代的“五音”：宫、商、角、徵、羽。具体的计算见表1。【4】表1 三分损益法计算与十二平均律的差异
需要说明的是，实际管子发音时，振动的空气柱长度要比管长略长一些，这是“管端效应”引起的。所以，管径不变，管长减半，所发音并不是频率加倍，而是略低一点。上面的讨论是一种“理论”上的讨论，是一个倍频程（八度音程）如何划分成十二个“半音”的问题。古代没有频率概念和测量手段，只能借托管长来讨论。五 朱载堉与十二平均律
千年困扰，千年争议，直到明朝中叶，万历二十四年（1596年），朱载堉在其著作《律吕精义》（内外篇）一书中，提出了“新法密率”，即“十二平均律”解决了这个问题。他把2开2次方，再开2次方，再开3次方，得到2开12次方，并计算到=1.059463094359295264561825（25位数字），再求其值的n次方（n=2～11）。这就是把八度音程（一个倍频程）划分成一个等比数1/12列，每个音的频率都是前一个音的2（）倍，从1到2，一个倍频，1/12中间11个无理数（2的若干次方），这天衣无缝地解决了“毕达哥拉斯差”和“黄钟不能还原”的千年困扰，确实是一个了不起的成就。后由传教士带到欧洲，巴赫写成了《平均律钢琴曲集》。十二平均律逐渐在欧洲和全世界范围内得到普及。德国物理学家亥姆霍兹这样评价朱载堉：“在中国人中，据说有一个王子叫朱载堉的，他在旧派音乐家的大反对中，倡导七声音阶。把八度分成十二个半音以及变【5】调的方法，也是这个有天才和技巧的国家发明的。”“这一发现彻底解决了困扰人们千年的难题，是音乐史上的重大事件。现代乐器【6】的制造都是用十二平均律来定音的。”六 律吕与节气
中国古代律吕学不仅是音乐范畴，还与气候和节令密切关联。中国古代是农耕社会，种庄稼要知道节气（节令和气候），但中国古代使用的历法“阴历”是月亮历，以观察月亮围绕地球转动的周期状态确定月份和日期，所以不能以其月份和日期确定节气。节气是与地球围绕太阳运行的周期状态相关的，所以中国的24节气与阳历月份和日期的对应关系是固定的，只有一两天的变动。然而中国古代没有“阳历”，如何确定节气呢？就是通过“立杆测影”，观察垂直的立杆在当地正午时刻太阳照射下影长的变化来确定节气的，这已是“建筑热工学”日照计算的常识。冬至日杆影最长，夏至日杆影最短。或说成“一年中杆影最长的那一天是冬至日，杆影最短的那一天是夏至日”。河南登封的郭守敬建的观象台（元）是大尺度的“立杆测影”（图5），而东汉的铜圭表，是小尺度的（图6）。图5 登封观象台图6 东汉铜圭表
显然影长还和测点的地理纬度有关，西周时期的中原地区，纬度在北纬35°左右。《周髀算经》中以八尺高的表（杆高），得到“冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸。……置冬至晷以夏至晷减之【7】余为实，以十二为法。”就是把冬至杆影长度减去夏至杆影长度，分成12分。期间有11个分点，因为从冬至，影长缩短到夏至，再增长到冬至，每个分点经过2次，11个分点对应除冬至和夏至以外的22个节气，加上冬至和夏至，就是24个节气。在这里，我们又看到了“十二”划分。因为测点纬度和测量精度有所差异，《晋书·天文志》的尺寸与《周髀算经》略有差异（图7）。图7 根据《晋书·天文志》绘制的两至晷影图（张杰）
图7中，表高8尺，冬至晷影长13.096尺，夏至晷影长1.5尺，两至晷影长之差为11.596，分成12份，每份0.9663尺。“十二分”是等分的，不是“三分损益法”求得的。但张杰教授计算了各分点的斜长（弦长），发现12根弦长相互之比竟然和“三分损益法”求得的12根律管长度之比很是接近（表2）。【8】表2 二至晷差12等分后相应弦长及其与三分损益法十二律的比对
今天，可用日照计算公式：当地时间正午12点，太阳高度角：h=90°-（ф-δ）。0
其中，ф为地理纬度；δ为赤纬（春分、秋分为0°，冬至-23°27′，夏至23°27′）。
北纬35°，冬至日h=90-（35+23°27′）=31°33′，夏至日h=90-00（35-23°27′）=78°27′。如果杆高8尺，冬至日影长13.03尺，夏至日影长是1.63尺。二至影长差值是11.4尺。
计算结果与图7相差不大。
这不能说是巧合，而是反映了中国传统宇宙哲学内在的融贯性。乐律学的“黄钟律吕”、“十二律”与天象学的“黄赤交角”、“立杆测影”竟然是相关联的！七 结语
本文是教学备课时查阅资料整理出来的一篇阅读报告，用建筑物理的专业知识——建筑声学的频程概念和建筑热工的日照计算，做了一番梳理。“十二律”从现代声学来看是一个频程划分问题，“倍频程”、“1/3倍频程”对建筑声学的人来说，太熟悉了，太简单了；“立杆测影”，日照计算对建筑热工来说，也是简单的公式应用。然而，它们却含有十分丰富的人文历史的内容，与中国古代的宇宙哲学、社会制度和农耕文明有如此紧密的关联。而且本来是乐律（建筑声学）方面的“十二律”，却和节令气候（建筑热工）方面的“立杆测影”联系起来。所以，我感到我们以往的建筑物理教材和教学，只顾了专业知识的讲授，缺少了历史文化方面的教育和人文修养的培养。建筑物理专业人员，要扩大学术视野，寻找新的研究切入点，不能只在建筑物理本身专业范围内，甚至只在声、光、热各自范围内转圈圈，要跨出去。而建筑历史与理论的研究者，也可以把知识面和学术视野扩大到科学技术的领域。参考文献
［1］王贵祥，刘畅，段智均．中国古代木构建筑比例与尺度研究［M］．北京：中国建筑工业出版社，2011．
［2］张杰．中国古代空间文化溯源［M］．北京：清华大学出版社，2012．
注释【1】文献［1］：46．【2】文献［2］：406．【3】王其亨．《营造法式》材分制度的数理含义及审美观照探析［J］．建筑学报，1990（3）：51．【4】序次5至6和6至7，序次10至11和11至12，连续做了两次管长的“益”，频率连续两次降低3/4。【5】戴念祖．中国科学技术史·物理学卷［M］．北京：科学出版社，2001：317．【6】杜石然等．中国科学技术史稿［M］．北京：科学出版社，1982：160．【7】周髀算经．卷下之二．清代文渊阁四库全书本．【8】按《晋书·天文志》取夏至晷影为1.5尺，黄赤交角为24天度，则可求出冬至晷影。其他晷影长度按二至晷影差十二等分损益生成。【1】《营造法式》材比例的形式与特点——传统数理背景下的古代建筑技术分析张十庆（东南大学建筑研究所）
The Form and Characteristics of Timber Proportion in Ying Zao Fa Shi: the Technical Analysis of Ancient Architecture under the Background of Traditional Mathematics
Zhang Shiqing
摘要：以传统数理背景为线索，分析和解读《营造法式》材比例的形式与特点，主要侧重两个方面：一是关于《营造法式》3∶2的材比例形式；二是关于方五斜七的传统比例关系，希望对《营造法式》材比例形式的认识更加本质以及接近历史的真实。
关键词：营造法式，材比例形式，数字比例
Abstract：This paper analysis the form and characteristic of timber proportion mentioned in Yingzao Fashi with help of the clue of the background of traditional mathematics in order to deepen the cognition of the timber proportion form, and thus to reach closer the historical truth. The paper puts particular emphasis on two matters as below, 1) the regular 3∶2 timber proportion in Yingzao Fashi, and 2), the traditional proportion of the triangle which its hypotenuse and right-angle side has a conventional proportion of 5∶7.
Keywords: Yingzao Fashi, timber proportion form, proportional numerals
如何认识和理解宋代《营造法式》的材栔比例形式，首先涉及的或是知识背景问题。以不同的知识背景去解析《营造法式》的比例内容，有可能得出相异的认识结果。当年梁思成先生注释《营造法式》时，在关于角栱斜长内容上，就产生类似问题。《营造法式》大木作“造栱之制”关于角栱斜长规定：“其华栱则以斜长加之。假如跳头长【2】五寸，则加二寸五厘”。对此规定，梁先生指编者李诫有误，认为直角边5寸正方形的斜长取值，应是7.071寸，而非李诫所取的7.05【3】寸，“五厘”应改为“七厘”。其实李诫不误，反是梁先生误。问题的症结正在于知识背景的差异上。具体而言，这是一个关于正方形对角斜长取值的认识问题。而关于这一问题的认识，东西方的数理思维及取值方式有所不同。李诫在《营造法式》的“看详”和“总例”两处，给出有明确的勾股弦计算口诀：“方一百，其斜一百四十有一”，即方100斜141的概数关系。以此口诀计算，勾股5寸，则其弦长正是7.05寸。所以我们要说，李诫之不误，在于其是以中国传统数理计算方式为前题和背景；梁先生之所误，在于其是以西方数理知识背景去解读东方传统的《营造法式》。
以上所举之例，只是想借以说明宋《营造法式》有其特定的传统数理背景，对于《营造法式》诸如材栔比例形式一类的相关内容，或也应该置于传统数理背景下去解读，这样才有可能认识其本质以及接近历史的真实。一 《营造法式》3∶2的材比例形式
关于《营造法式》的材份比例形式，最突出的是其材15份制及材广厚3∶2的比例关系，即“以其材之广分为十五分，以十分为其【4】厚”。《营造法式》大木作制度强调凡梁枋截面，皆取3∶2的比【5】例形式。。《营造法式》细密的15份制材份制度，很有可能形成于崇宁《营造法式》时期，是李诫“新一代之成规”（进新修《营造法式》序）的重要内容。
李诫于“进新修《营造法式》序”中斥责董役之官“不知以材而定分”，这有可能恰表明了“以材而定分”是一新制，尚不为人们所熟知和掌握。《营造法式》中凡强调的内容多半是新规，以3∶2材比例为基础的15份制，应是其最重要者。而不言自明的陈规旧法，则为工匠所熟知，是不需要强调的。
以往有研究认为《营造法式》梁枋广厚的3∶2比例，是根据材料【6】力学的最强矩形截面理论数值而设定的，然这一推论似也隐约有以西方知识背景解读中国传统技术之虞，其是否符合基于经验的工匠思维还值得探讨。如若换一个角度思考这一问题，也即基于比例的简洁性和使用的便利性的特点可以认为，材的15份制与3∶2比例形式应是一对关联整体：3∶2的材比例形式是15份制的前提，其“份”作为材截面的两向比例单位（公约数）这一特点，则是《营造法式》设定材广厚比3∶2的内在原因。也就是说，《营造法式》3∶2的材比例形式是为15份制而设定的，所谓“以材而定分”（进新修《营造法式》序），可以理解为以3∶2之材，定15份之制。清斗口制的材比例变化，从反面印证了这一点：相应于15份制的弃用，3∶2的材比例形式随之也失去了存在的必要，清斗口制的材比例改为7∶5的形式。
材广厚尺寸关系有意识的比例化，是建立份制的需要和标志。《营造法式》材比例3∶2与15份制的相关性与整体性是不可忽视的。材比例3∶2者，未必就一定有15份制，但材比例非3∶2者，则一定无15份制。因此可以认为，对材比例非3∶2的遗构的任何15份制的分析，都是不真实和不可靠的，更不用说足材的21份制。
份制的一个重要属性是其作为两向模数单位的特点，因此份制的产生必定建立在材截面广厚两向的简洁比例关系之上，或者说份制对材之广厚比例关系具有强制的约束和限定。试以佛光寺大殿的尺度分析为例，基于上述关于份制与材比例关系的推理分析，如果我们对佛光寺大殿材尺寸10寸×7寸的复原成立的话，那么可以认为佛光寺大殿材尺寸的设定仍处于简单尺寸关系的阶段，而未至简洁比例关系的阶段。因此在逻辑上佛光寺大殿应尚无份制的意识，至少不可能存在基于材广的15份制，或者基于材厚的10份制。
以份制为模数的设计方法是否可上溯至唐代尚难以定论，仍需从多方面进行论证，而上述份制与材比例的关系这一线索无疑是一较具可行性的论证思路和方法。
目前我们对份制的认识是建立在《营造法式》15份制基础上的，其前提是材广厚比3∶2。至于15份制以外的其他份制形式（唐宋辽金时期），首先需要的是论证其是否真实地存在，而非直接以之作为遗构分析的依据。且作为前提条件，无论何种份制的设定，一定都离不开材广厚的简洁比例关系，否则，何来双向比例单位的份制？正所谓皮之不存，毛将焉附？
在3∶2比例关系的前提下，《营造法式》所有八个材等的材广尺【7】寸皆为3的倍数，包括用于小木作的等外1.8寸材和0.6寸材，从而在用材规格上弃用了此前曾经习用的一些非3倍数的传统用材尺寸，如十寸材、八寸材、七寸材、五寸材等等，因为这些非3倍数的材等，不适用于以3∶2比例关系为前提的15份制。而正是这些简单寸的用材形式，在《营造法式》之前曾是主要的用材形式，如推定的佛光寺大殿十寸材、独乐寺山门八寸材、保国寺大殿七寸材等等，且这些被弃用的旧材形式在《营造法式》中仍流露有部分痕迹，如《营造【8】法式》在八个材等外所提及的五寸材。《营造法式》之前的早期用材取值以简单寸为特色，相当于中国唐代的日本《木工寮式》以及一些古文献中，所记用材尺寸多为八九寸材、七八寸材、五六寸及四五寸这样的简单寸形式，即材之广厚以取相邻整数寸为特色，这也是早期方材截面尺寸的常用表记形式【9】。因此，基于早期材尺寸的取值特点，其比例上有两个特点：一是广厚比不统一和未定型；二是比例扁方，比值较小，皆在3∶2比值的1.5之下，且未表现出有意识的材广厚简洁比的追求。汉地及日本早期建筑遗构中，材比例也多表现有这一特色，如法隆寺堂塔材比例的5∶4形式（比值1.25），以盛唐建筑为祖型的日本和样建筑材之广厚比也定型为6∶5的形式（比值1.2）。
材广厚比的3∶2定型，应是在宋代以后，尤其是在《营造法式》中得以制度化。《营造法式》的材份比例新规的最大特点在于：基于份制的需要，用材取值特点从早期的简单寸形式转为新规的简洁比形式。二 方五斜七的传统比例关系
相对于《营造法式》材比例3∶2的新规，以传统数理为基础的比例观念，也是影响和左右唐宋以来材比例形式的一个重要因素，其最典型的形式莫过于五七式的比例关系。
传统的五七式比例关系，源自所谓“方五斜七”的近似勾股弦率，即正方形边长5、斜长7的数字比例关系。这一数字比例关系是中国古代对无理数的近似表达与概数形式，传统上习称“方五斜七”。方五斜七之率自古为工匠所习用，相应地，基于五方斜七的五七式比例关系，也成为矩形的一种传统比例形式，运用广泛。
同属东亚文化圈的日本，自古以来也注重和习用这一比例关系，并视其为日本的传统比例形式，称之为“大和比”。现代日本学者更有称其为白银比，与西方黄金比并提，相应的矩形分称黄金比矩形与白银比矩形，以之定义和表述矩形长短边比例关系的两种特定形式。
以几何图形关系而言，黄金比与白银比都可由正方形推导而来，如图1所示。图1 黄金比矩形与白银比矩形的比例关系
黄金比矩形：
以1单位长的正方形底边中心为圆心，其斜长半径与底边的叠加为矩形长边，其长为（1+）/2，约等于1.618。长短边比为1.618∶1。
白银比矩形：
以1单位长的正方形底边外角为圆心，其斜长半径为矩形长边，其长为，约等于1.414。长短边比为1.414∶1。
黄金比与白银比二者，皆为无理数，若以数字比例关系作近似表达，则分别为8∶5与7∶5，比值为1.6与1.4。有意思的是，《营造法式》追求的3∶2的比值1.5恰居二者之间。
比较东西方的传统比例关系，所谓黄金比矩形与白银比矩形，二者在比例形式上近似，然又有微妙的差异。从性质上而言，西方的黄金比主要着眼于形体的美感，而东方的白银比应更多是基于实用和便利性，然其中或许也表达有一定的美感因素。如日本学者作有相关的统计调查，设定比值从1.0到2.5的10个不同比例的矩形图样，以日本人为对象进行喜好度调查，其统计数据表明，白银比矩形、正方形以及黄金比矩形三者，分居喜好度的一、二、三位。由此得出结论，日本人更偏爱白银比，并指出日本传统美的比例关系基于白银比，是日【10】本文化的一个特色。
实际上所谓白银比这一传统比例形式，源自中国古代。早在汉代《算数书》中就已出现方五斜七的近似勾股弦率。方五斜七这一比例关系，应来自工匠实践中的摸索和经验，并成为古代工匠所习用的传统比例关系。材比例形式的设定上，其影响亦显而易见，如习用的五七式比例关系。的方斜比，传统上有三个数字比例的近似表达关系，随比例数字关系的变化而精度不同，从而应用于不同精度要求的对象。即方五斜七、方七斜十、方百斜一百四十一，前二者可称疏率，精度相仿，误差约1%；后者称作密率，误差约0.3%。《营造法式》斗栱构件斜长计算用密率“方百斜一百四十一”，八棱比例计算用疏率“方七斜十”；而清代《工程做法》中的斜长计算，则一律用“方五斜七”之数。在构件斜长求值的精度上，清式反不如宋式。三 《营造法式》材栔比例关系
基于方五斜七的五七式比例关系，应是唐宋时期用材比例的一个特色。龙庆忠先生曾指出七寸材作为唐代常用材的意义，认为7寸×5【11】寸材应是唐代的一种常用材和标准材，其比例形式正表达或吻合了传统的五七式比例关系。此外，陈明达先生也指出辽构中材广厚约1.41的比值，其实质是∶1的表现，在传统方料截面比例构成上，是一典型方法，且在一些平面、立面构图中也常用，似是一种广【12】泛使用的比例关系。
特定比值的近似表达，如方五斜七或方七斜十，为传统比例设计所习用。许多建筑尺度现象的背后，可能正是这些特定比例的作用和表现。材比例的设定，应是其中之一。
从精度上而言，方五斜七为无理数的疏率，《营造法式》为求精度，进而以“方一百斜一百四十一”为密率，如本文开篇所谈及的关于角栱斜长值，即是以密率求之。然实际上对古代工匠而言，尤其是建筑营建，简洁的方五斜七或方七斜十更为实用和便利，如《营造
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