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罗默《高级宏观经济学》（第4版）课后习题详解试读：
第1章 索洛增长模型
1．1 增长率的基本性质。利用变量增长率等于其对数的时间导数这一性质证明：（a）两个变量之积的增长率等于其各自增长率之和。即，若Z（t）＝X（t）Y（t），则：（b）两个变量之比的增长率等于其各自增长率之差。即，若Z（t）＝X（t）/Y（t），则：α（c）若Z（t）＝X（t），则。
证明：（a）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：
再简化为下面的结果：
则得到（a）的结果。（b）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：
再简化为下面的结果：
则得到（b）的结果。（c）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：α
又由于ln[X（t）]＝αlnX（t），其中α是常数，有下面的结果：
则得到（c）的结果。
1．2 假设某变量X的增长率从时刻0到时刻t为常数，并且等于a1＞0；在时刻t降为0；从时刻t到t逐渐从0增加到a；在时刻t后为常1122数，并且等于a。（a）用图形表示出X的增长率随时间的变化。（b）用图形表示出lnX随时间的变化。
答：（a）根据题目的规定，X的增长率的图形如图1-1所示。
从时刻到t时刻X的增长率为常数且等于a（a＞0），为图形中1的第一段。X的增长率从0上升到a，对应于图中的第二段。从t时刻2之后，X的增长率再次变为a。
图1-1 时间函数X的增长率（b）注意到lnX关于时间t的导数（即lnX的斜率）等于X的增长率，即：
因此，lnX关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到t时刻，lnX1的斜率为a（a＞0），在t时刻，X（t）的增长率出现不连续的变化，1因此lnX的斜率出现扭曲，在t时刻至t时刻，lnX的斜率由0逐渐变为12a；从t时刻之后，lnX的斜率再次变为a（a＞0）。2
图1-2 lnX关于时间的图形
1．3 描述下列情况如何影响（如果有影响的话）索洛模型基本图式里的持平投资曲线和实际投资曲线：（a）折旧率下降。（b）技术进步率上升。α（c）生产函数是柯布—道格拉斯函数f（k）＝k，并且资本份额α上升。（d）工人更加努力地工作，因此，在既定的单位有效劳动平均资本下，单位有效劳动的平均产出比以前更高。
答：（a）折旧率下降的影响
由于持平投资线的斜率为（n＋g＋δ），当折旧率δ下降后，持平投资线的斜率变小，持平投资线向右旋转，而实际投资线则不受影响。*从图1-3可以看出，平衡增长路径的资本存量水平从k上升到。
图1-3 折旧率下降的影响（b）技术进步率上升的影响
由于持平投资线的斜率为（n＋g＋δ），当技术进步率g上升后，会使持平投资线的斜率变大，持平投资线向左旋转，而实际投资线则*不受影响。从图1-4可以看出，平衡增长路径的资本存量水平从k下降到。
图1-4 技术进步率上升对稳态人均资本存量的影响α（c）生产函数是柯布—道格拉斯型的f（k）＝k，并且资本份额α上升的影响
由于持平投资线的斜率为（n＋g＋δ），因此α上升对持平投资线α没有影响。由于实际投资线为sf（k），而f（k）＝k，因此。当资本份额α上升时，实际投资线的变化需要分情况α讨论：对于0＜α＜1，如果lnk＞0，或者k＞1，则∂sk/∂α＞0，即实α际投资线sk随α增加而上升，则新的实际投资线位于旧的实际投资线α之上；反之，如果lnk＜0，或者0＜k＜1，∂sk/∂α＜0，则新的实际投资线位于旧的实际投资线之下；对于k＝1，则新的实际投资线与旧的实际投资线重合。*
除此之外，α上升对于k的影响还受到s和（n＋g＋δ）的大小的*影响。如果s＞（n＋g＋δ），α的上升会使k上升，如图1-5所示。
图1-5 资本份额α上升的影响（d）工人们发挥更大的努力，使得对于单位有效劳动的资本的既定值，单位有效劳动的产出比以前有更高的影响。
如果修改密集形式的生产函数形式为：sBf（k），B＞0，则实际投资线为sBf（k）。
工人们更加努力的劳动，则单位有效劳动的产出比以前提高，即表现为B上升，B的上升会使实际投资线sBf（k）上升；持平投资线*（n＋g＋δ）k并不受影响，此时，k也从k上升到，如图1-6所示。
图1-6 单位有效产出比以前更高的影响
1．4 考虑一个存在技术进步，但没有人口增长并且处于平衡增长路径的经济。假定出现工人数量的一次性增加。（a）工人数量一次性增加时，单位有效劳动的平均产出会增加、减少还是不变？为什么？（b）单位有效劳动的平均产出发生初始变化（如果有）之后，是否会有进一步的变化？如果有，它是上升还是下降？为什么？（c）在经济重新达到平衡增长路径后，单位有效劳动的平均产出与新工人出现之前相比是更高、更低还是一样？为什么？
答：（a）假定在t时刻，工人数量发生了一次离散的上升，这0*使得每单位有效劳动的投资数量从k下降到k。从k＝K/（AL）这NEW一式子中可以看出，由于L上升，而K和A则没有变化，因此，k会下降。因为f＇（k）＞0，所以每单位有效劳动的投资数量的下降会降*低每单位有效劳动的产出。在图1-7中，y从y下降到y。NEW
图1-7 单位有效劳动数量降低的影响（b）在k处，每单位有效劳动的投资超过了每单位有效劳动NEW的持平投资，即：sf（k）＞（g＋δ）k。在k处，经济中NEWNEWNEW储蓄和投资超过了折旧和技术进步所需要的投资数量，因此k开始上升。随着每单位有效劳动的资本上升，每单位有效劳动的产出也会上*升。因此，y从y返回到y。NEW（c）每单位有效劳动的资本会持续不断的上升，直到返回到原**先的资本水平k。在k处，每单位有效劳动的投资恰好与持平投资相等，即：每单位有效劳动的投资抵消了折旧和技术进步所需要的投资*数量。一旦经济返回到平衡增长路径，k便会返回到k处，从而每单位有效劳动的产出也会返回到原先的水平。所以，一旦经济再次达到平衡增长路径，每单位有效劳动的产出等于新工人出现之前的产出。
1．5 假设生产函数是柯布—道格拉斯函数。***（a）把k、y和c表示为模型参数s、n、δ、g和α的函数。*（b）k的黄金律值是多少？（c）达到黄金律资本存量所需的储蓄率是多少？
解：（a）下式描述了每单位有效劳动的资本的动态方程式：α
定义柯布—道格拉斯生产函数为：f（k）＝k，将其代入上式，有下式：
在平衡增长路径处，每单位有效劳动的投资恰好与每单位有效劳动持平投资相等，从而k保持不变，则有下面结果：
从上式可以解出： （1）*
下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平y：α
将方程（1）代入f（k）＝k，则可以解出平衡增长路径处的每*单位有效劳动的产出水平y： （2）**
将方程（2）代入c＝（1－s）y，则可以求得平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平为： （3）***
综合上述方程（1）、（2）和（3）可以解出k、y与c关于模型参数s、n、δ、g和α的函数表达式。（b）黄金率的资本存量水平是指每单位有效劳动的消费水平达到最大化时的资本存量水平。考察这一指标的意义在于考察社会的福
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