作者：（美）诺桑·亚诺夫斯基
出版社：中信出版社
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理性的边界试读：
理性的边界[美]诺桑·亚诺夫斯基 著王晨 译中信出版集团引文献给谢娜·莉娅哈达莎，丽芙卡，巴鲁奇和米里亚姆序 人类根深蒂固的理性局限我们对世界了解得越多、越深入，我们对自己所不知道的[1]东西，对我们的无知的了解，就越是清醒、详细和清楚。——卡尔·波普尔（Karl Popper）一个人必须知道自己的局限。——哈里·卡拉汉（Harry Callahan），《紧急搜捕令》（Magnum Force，1973）凡事应该尽可能简单，但不能太过简单。——（被认为是）阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）对事物的理解总是伴随着矛盾的情绪。一方面，一旦我们了解了什么事物，我们常常会觉得它乏味平庸，甚是无趣。另一方面，神秘未知的事物总是令人着迷，吸引着我们的注意力。这些我们不知道或不了解的事物激发着我们的兴趣，而那些我们无法知道的事情更令我们心驰神往。理性告诉我们，一些事物我们无法理解，是因为它们超出了理性的边界，本书中将就此主题进行探讨。许多图书透过科学、数学和理性向我们揭示了令人惊叹的事实。还有一些书探讨的是科学、数学和理性尚未彻底解释清楚的主题。本书有点不同，我们在这里研究的是，科学、数学和理性告诉我们的哪些事物是不可能被揭示的。什么是无法被预测或了解的？什么是永远不会被理解的？什么是被计算机、物理学、力学和我们的思维过程所局限的？什么是理性的界限之外的？本书致力于回答其中的一些问题，书中的许多想法也对我们关于宇宙、人类理性以及我们自身根深蒂固的观念提出了挑战。在这条道路上，我们将研究需要数万亿个世纪才能解决的简单计算机问题；思考结构上无懈可击但毫无意义的句子；了解无限的不同层次；进入匪夷所思的、奇妙的量子世界；讨论计算机永远不可能解决的具体问题；与带来暴风雪的蝴蝶交朋友；思忖在不同的派对上同时起舞的粒子；认识悖论和自指悖论；看一看我们对空间、时间和因果关系的朴素认知在相对论面前会得到怎样的教诲；理解哥德尔关于逻辑局限性的著名定理；探寻一些无法解决的数学和物理学问题；探索科学、数学和理性的真正本质；探究为什么这个世界看上去对人类来说如此完美；并检视我们的思维、理性与物质世界之间的复杂关系。我们还将试着向理性的边界之外窥视，看看那里有些什么东西。以上这些内容以及其他许多令人着迷的话题将以清晰易懂的方式呈现在读者面前。在探索各个领域的这些局限性时，我们会发现，众多不同方面的局限性拥有相似的模式。本书将研究这些模式，以便读者更好地理解理性及其局限性。本书并不是一本可以证明理性局限性的全部范例的汇编。我们的目标是理解为什么会出现这些界限，以及为什么理性不能逾越这些界限。我们在每个领域挑选数个有代表性的局限性范例，并对它们进行深入探讨。我不会只是列出这些局限，我的目标是解释它们，或者至少直观地说明为什么某一特定领域会超出理性的边界。读者需要知道这本书并没有投机的意图，也无意开创什么新时代。它也不是一本历史书，我不会在里面用精心雕琢的辞藻粉饰名词的意义，也不会一门心思地关注它们按照年代顺序发展的历程。这是一本通俗的科普读物，它将循序渐进且清楚明晰地阐述其中的思想。斯蒂芬·霍金（Stephen Hawking）有一句名言，每个方程式会让读者的数量减少一半。我很认同这句话，所以这本书里的方程式很少。我相信图表和图形能够将复杂的概念以简洁的方式表达出来。清楚明晰是我的目标。每一章探讨一个不同的领域：科学、数学、语言、哲学等。这些章节的内容按照从具体到抽象的逻辑进行排列。我会从使用日常语言的简单问题开始，过渡到容易理解的哲学问题，以抽象的数学世界作为结尾。在大多数情况下，这些章节是彼此独立的，以任何顺序阅读都可以。建议读者从自己最感兴趣的主题开始阅读。（自指悖论是本书的统一性主题，出现在第2章、第4章、第6章和第9章。）[1]Popper（2002），38。第1章 违反常识的结论和无法解决的问题我们对自身生活的世界以及我们与这个世界的关系的朴素直觉是错误的，我们、我们的世界，以及我们用来描述世界的科学和数学，这些事物之间的关系和我们所认为的并不一样。人类理性在其知识的某个门类里有一种特殊的命运，那就是：它为一些它无法摆脱的问题所困扰；因为这些问题是由理性自身的本性向自己提出来的，但它又不能回答它们；因为这[1]些问题超越了人类理性的一切能力。——伊曼努尔·康德（Immanuel Kant，1724—1804）[2]当光明的圆扩大之时，黑暗的圆周亦随之扩大。——（被认为是）阿尔伯特·爱因斯坦佐巴：那个年轻人为什么会死？为什么任何人都要死？巴兹尔：我不知道。佐巴：要是你那些该死的书不能回答这些问题，它们又有什么用呢？巴兹尔：它们告诉了我，那些不能回答你这些问题的人的痛苦。佐巴：我唾弃那种痛苦！——《希腊人佐巴》（Zorba the Greek，1964）科学和技术的发达程度可以作为衡量文明的标准。科学和技术越发达，相应的文明越先进。我们的文明被认为比原始社会更先进，这要归功于我们取得的所有科技成果。相比之下，如果某个外星文明造访地球，我们的文明就会被认为是原始的，这几乎是不言而喻的，因为它们掌握了星际空间的旅行技术，而我们没有。使用科学和技术作为衡量标准的原因在于：这些活动是人类文化的各个方面中唯一以自身为基础进行构建的。后人蒙前人福荫，继往开来。迄今最伟大的科学家之一艾萨克·牛顿（Isaac Newton，1643—1727）对此做了十分精妙的表述：“如果我（比别人）看得更远，那只是因为我站在巨人的肩膀上。”科学的发展是这样一种持续不断的积累，因此它很适合作为比较不同文明的标尺。与科学和技术形成对比的是，人类文化的其他方面如艺术、人际关系、文学、政治、道[3]德等，都不能说是以自身为基础进行构建的。衡量文明的另一种方式是看它在多大程度上摒弃了不科学和非理性的观念。现今社会更加先进，因为我们已经将炼金术当作傻乎乎的梦想丢进了垃圾桶，转而潜心研究化学。几个世纪以来的占星学论著都被视为胡言乱语，但我们保留了对天文学的研究。随着文明的进步，它会将自身的观念和神话置于逻辑分析的框架中，抛弃超出理性范围的内容。在进步的过程中，文明使用的工具是理性。理性和推理是社会进步使用的方法论。某种文化若合乎理性，它就会进步。当它偏离理性，或者跨出理性的界限，它就会停滞不前甚至倒退。理性有很多种形式。按照广义的（或许也是不甚精确的）概念，科学是我们用来描述和预测可度量的实体世界的语言。数学更为抽象，可以分成两个领域：应用数学是科学的语言，而纯数学是理性的语言。逻辑学也是一种理性的语言。因为科学、技术、理性、逻辑和数学是相互联系的，因此我对其中任何一种事物的描述通常也适用于其他事物。有时候我会只用理性（reason）一词来替代它们所有。千百年来，哲学家们一直在反思和争论哪些东西是人类有能力知道的，又有哪些东西是人类不可能知道的。这个探讨人类知识及其边界的哲学门类被称为认识论（Epistemology）。虽然这些哲学家提出的观念十分引人入胜，但他们的作品并不是我们在这本书里关注的焦点。相反，我们感兴趣的是，科学家、数学家和当下的研究者们对于人类的知识与理性的边界的阐述。现代科学、数学和理性最了不起的一点在于它们已经发展得非常成熟，到了能够看清自身局限性的水平。最近，科学家和数学家已经加入哲学家的行列，共同讨论人类认识世界之能力的局限。而理性在科学上的局限性正是本书的主题。下面这个可爱的小游戏能让我们初步了解理性的局限是什[4]么意思。这个游戏非常有趣，很值得思考，而且强烈推荐其作为任何鸡尾酒派对上的益智挑战。找一张普通的8×8国际象棋棋盘和一些尺寸为2×1的多米诺骨牌，尝试用多米诺骨牌盖住整张棋盘。棋盘上有64个方格，每个多米诺骨牌覆盖两个方格，所以一共需要32个多米诺骨牌。完成这项任务的方式有数百万种之多。图1.1展示了我们开始进行这个过程的一种可能性。这的确很简单。现在让我们尝试一项更有挑战性的任务。在棋盘对角的两个方格上各放置一枚代表王后的棋子。现在再来试试盖住除了这两个方格之外的所有方格，如图1.2所示。需要覆盖的方格是62个，意味着一共需要31个多米诺骨牌。试试看！图1.1 用多米诺骨牌覆盖国际象棋棋盘图1.2 去掉对角的两个方格后再覆盖棋盘尝试了一会儿并发现自己无法盖住每个方格之后，你可能会考虑将这个小游戏展示给别人——尤其是那些游戏迷。他们也会有相似的体验。你或许想找一台计算机来解决这个问题，因为机器可以迅速尝试多种可能性。开始在棋盘上放置多米诺骨牌的方式即使没有几十亿种，也有数百万种之多。然而，没有任何人或任何计算机能够完成这项任务。将31个多米诺骨牌放置在一张国际象棋棋盘上，这个简单的问题之所以看上去那么困难，是因为它是无法做到的。它不是一个困难的问题；它是一个不可能解决的问题。实际上要解释这一点倒是很容易。每个多米诺骨牌都是2×1的尺寸，所以必须在棋盘上占据1个黑方格和1个白方格。图1.1中的棋盘有32个黑方格和32个白方格需要覆盖。棋盘上的黑白方格是完全对称的。相比之下，图1.2中的棋盘只有30个黑方格和32个白方格需要覆盖。然而因为每个多米诺骨牌必须覆盖1个黑方格和1个白方格，所以这62个方格无法用多米诺骨牌全部覆盖。移动棋子的位置，让一个王后位于黑方格上，另一个王后位于白方格上。现在再来试试看。这个小游戏有很多美妙的特点。它容易解释，易于游戏者尝试寻找解决方案，而且还可以通过使用计算机尝试解决问题。然而它无法解决。不是因为我们不够聪明，不能解决这个问题，也不是因为这个问题超出了当下技术水平的能力，它根本就是无法被解决的。这个问题无法被解决，这不是某位人士的意见，而是放之四海而皆准的事实。理智告诉我们，我们解决这一问题的能力存在局限。这个问题最棒的部分在于，它为什么无法解决的理由很容易被解释。一旦陈述出这个理由，你就会被彻底说服，不再为之烦心。本书将展示许多诸如此类无法解决的问题和局限。在下文中，我将对本书涵盖的局限类型进行分类介绍，而不是按照顺序给出每一章的概要。对于每一类局限，我将列出来自不同章节的例子，这将让本书呈现出更富于整体性的结构。关于局限的例子十分丰富。计算机科学家已经向我们展示过，有很多任务是计算机无法在一段合理的时间之内完成的（第5章）。他们还发现，有些任务是计算机无论花多长时间也完成不了的（第6章）。物理学家讨论了这个世界的复杂程度，而有些现象复杂到科学和数学都无法对其进行预测（第7章第1节）。数学家发现某些类型的方程无法用正常方法求解（第9章第2节）。逻辑学家已经证明，论证的力量是有局限的。他们描述了一些为真但无法被证明的逻辑语句（第9章第4节）。语言哲学家指出，对于这个我们自身生活在其中的世界，我们的描述能力是受到局限的（第2章）。还存在其他一些类型的局限，而且从某种意义上说，这些局限拥有更深的层次。这些局限表明，我们对自身生活的世界以及我们与这个世界的关系的朴素直觉是错误的。我们对宇宙及其性质的思考方式必须升级。每个物体都有一个客观定义，这是我们的一条基本假设，但它需要被重新评估（第3章第1节）。古典哲学家齐诺（Zeno）表示，我们对空间、时间和运动的常规认识需要做更深入的分析（第3章第2节）。量子力学已经教会我们，知道者和被知道的事物之间的关系并不简单。物理学的这一分支向我们展示，世界比此前设想的关联更紧密（第7章第2节）。研究者发现，我们对于无限的简单直觉是错误的，需要修正（第4章）。相对论表明，我们对空间、时间和因果关系的认知是错误的，需要更正。物理学家指出，不存在对长度或持续时间的客观测量（第7章第3节）。我们、我们的世界，以及我们用来描述世界的科学和数学，这些事物之间的关系并不简单（第8章）。本书后面的内容将深入探讨所有这些以及其他更多主题。上述局限的展现方式有许多种。比较有趣的方式之一是悖论（paradox）。这个词来自希腊语前缀para-（“与之相反的”）和doxa（“意见”）。《牛津英文词典》给出了许多互相重叠的定义，包括：●与被人们广为接受的观点或信仰相反的陈述或理念。（例如：“二手烟对你来说没有那么糟糕。”“民主并不总是最好的政体。”）●一种听上去十分荒谬或自相矛盾的陈述或命题，或者让人感到强烈地违反直觉，然而对其进行调查、分析和解释，却发现它是根据充分的或真实的。（例如，“长期来看，股票市场不是个投资的好地方。”“站立比步行更费力。”）对我们而言，最重要的定义是：●一种论证过程，它基于（表面上）合理的前提并使用（表面上）有效的推理，得出的结论违反常识，在逻辑上不合理或者自相矛盾。这些悖论将会是我们关注的重点。悖论先得有一个前提或假设，然后用有效的逻辑推理推导出谬误。我们可以将悖论的推导过程表示如下：假设⇒谬误。由于谬误是不应该发生的，而我们的推导过程使用的是有效的逻辑推理，那么唯一的结论就是我们的假设是不正确的。在某种程度上，悖论是一种测试，可以看出某个假设是否能合理地置于理性的检验之下。如果使用有效的推理从假设推导出谬误的话，那么假设就是错误的。出现悖论表明我们已经跨过了理性的边界。从这个意义上说，悖论是不正确观点的指针。它指出这样一个事实，即假设是错误的。既然假设是错误的，它就不能置于理性的检验之下。这是理性的一种局限。在大多数情况下，我们遇到的谬误类型是矛盾。我所说的矛盾，是指一件事看上去既是真的，同时又是假的。可表示如下：假设⇒矛盾。由于世界上不会存在这样的矛盾，所以假设一定有问题。例如，在第6章中，如果我们假设一台计算机能够执行某项特殊的任务，那么我们就会在其他特定的计算机上推导出矛盾。既然计算机这样的物体不会存在矛盾，那么我们的假设一定有问题。悖论的论证方式与一种常见的数学论证方法是相同的。下面要介绍的就是“矛盾证明法”（proof by contradiction），即“反证法”，拉丁语表示为reductio ad absurdum（归谬法）。如果你想证明某个命题是正确的，只要假设这个命题是假的，并推导出矛盾即可：命题为假⇒矛盾。由于矛盾在数学推理的世界中是不允许出现的，那么假设一定是不正确的，也就是说原命题为真。我们来看一个简单的例子，对数字2的平方根不是有理数这一命题的数学证明（第9章第1节）。如果我们假设数字2的平方根是有理数，就会推导出矛盾。我们由此得出结论，数字2的平方根不是有理数。在第4章第3节中，如果我们假设某两个特定的集合大小相等，我们就会推导出矛盾。我们由此得出结论，其中一个集合必然大于另一个集合。利用矛盾进行证明的例子无所不在。悖论的推导并不需要一个十分成熟的矛盾。只要推导出一个与观察结果不符或者虚假的事件即可：假设⇒虚假的事件。再一次地，因为我们推导出了谬误，所以我们的假设一定是错误的。齐诺悖论就属于这个类型（第3章第2节）。齐诺先做出某种假设，然后推导得出结论，即运动是不可能的。任何曾在街道上行走的人都知道，运动无时无刻不在发生，所以齐诺的假设是错误的。齐诺悖论的难点在于找到假设的荒谬之处。在很多情况下，悖论出现的时候将此前隐藏的假设暴露得无所遁形。这些假设可能深植于我们的意识之中，以至于我们压根不会认真思考它们（例如，空间是连续的而非离散的，或者物体有确切的定义）。这些悖论将挑战我们对自身生活在其中的世界的直觉。在发现我们的直觉是虚假的之后，我们就可以抛弃它们，继续向前探索。美国哲学家威拉德·范奥曼·奎因（Willard Van Orman Quine，1908—2000）雄辩地写道：形成悖论的论证会暴露出某种隐藏前提或预设观念的荒谬之处，而这些前提或预设观念此前被认为是物理理论、数学或思维过程的重要基石。因此，在看起来最无关紧要的悖论中可能隐藏着灾难。悖论的发现导致人类思维的基础发生重要的重[5]构，这样的情况在历史上发生过不止一次。探索悖论并寻找其假设，这种方法将是贯穿本书的一大重点。某些特定类型的悖论在我们讲述的故事中扮演着重要的角色。自指悖论是这样一套悖论系统，系统中的对象可以处理/操纵自身。自指悖论的经典案例是所谓的说谎者悖论。思考下面这句话：“这个句子是假的。”如果这个句子是真的，那么根据它对自身的描述，这个句子实际上是假的。如果这个句子是假的，那么既然这个句子已经表达了自己的谬误，那么这个句子就是真的。这便是货真价实的矛盾。这个问题之所以会出现，是因为语句能够描述自身的真实和虚假。例如，“此句有五字”是个合理的句子，因为它表达了自身的某种正确属性。相比之下，“此句有六字”就是关于自身的虚假陈述。我们将看到，只要某个体系能够讨论关于自身的性质，就会出现导致悖论的情形。我们会发现，语言、思维、集合、逻辑、数学和计算机全都是能够处理自身的体系。在上述每个领域内，自我指涉的潜力都将导致悖论，从而产生某种类型的局限性。令人惊讶的是，虽然这些领域彼此之间极为不同，但悖论的形式都是相同的。描述局限的另一种方法是将其附属在已经确定的局限上。在我详细解释之前，让我们先谈一谈登山。珠穆朗玛峰海拔29000英尺（现数据为8844.43米），而麦金利山的海拔“只有”20000英尺（6096米）。下列事实似乎是显而易见的：如果你能攀登珠穆朗玛峰，那么麦金利山就更不在话下了，你肯定也能登上它。我们将这个推导过程表示如下：攀登珠穆朗玛峰⇒攀登麦金利山。如果你能攀登麦金利山，你会感到很自豪。我们将其表示如下：攀登麦金利山⇒自豪。将这两个式子结合在一起，我们得到：攀登珠穆朗玛峰⇒攀登麦金利山⇒自豪。结论显而易见，如果你能攀登珠穆朗玛峰，你会感到很自豪。现在让我们来看看登山的黑暗面。假设你的医生告诉你，如果你尝试攀登麦金利山，会有糟糕的事情发生在你身上。我们将其表示如下：攀登麦金利山⇒糟糕。这是在描述你的运动能力的局限：你不应该攀登麦金利山。将它与第一个式子结合，我们就得到：攀登珠穆朗玛峰⇒攀登麦金利山⇒糟糕。它陈述了一个显而易见的事实，如果你应该避免攀登麦金利山，那么你肯定也应该避免攀登珠穆朗玛峰。换句话说：攀登珠穆朗玛峰⇒攀登麦金利山。这个显而易见的含义可以用来将与攀登麦金利山有关的某种已知局限转移到或附属到与攀登珠穆朗玛峰有关的局限上。我将在接下来的内容中使用这些简单的概念。现在让我们使用这种关于登山的直觉，去理解一种局限附属到另一种局限上的广义概念。设想某种局限通过矛盾建立，如下：假设A⇒矛盾。即，假设A不可能是正确的，因为我们可以从它推导出矛盾。现在再加入一个假设B。如果从假设B能推导出假设A，即：假设B⇒假设A。那么我们就会得到：假设B⇒假设A⇒矛盾。如果假设B是正确的，那么假设A也是正确的，既然我们已经确定假设A是不正确的，那么我们可以断定，假设B也不可能是正确的。这种论证方式称为归约（reduction），一种假设被归约为另一种假设。在归约的过程中，已知的局限会被转移到其他领域。归约的例子贯穿全书：●我指出，如果计算机解决某一特定问题需要花很长时间，那么计算机解决其他更难的问题将要花费更长的时间（第5章第3节）。●我指出，如果计算机不能解决某一特定问题，那么计算机也不可能解决更难的问题（第6章第3节）。●我用类似的方法指出，某些陈述方式十分简单的数学问题是无法解决的（第9章第3节）。●其他相似的归约例子出现在我们对逻辑学的讨论中（第9章第5节）。我要在这里陈述关于矛盾的一些事实。物质世界不允许出现任何矛盾：●某种特定的分子不可能同时既是盐酸，又不是盐酸。●同一个地方不可能同时既是周一，又不是周一。●正方形的对角线不可能等于它的边长。类似地，作为对物质世界的一种描述，科学也不能表达矛盾：22●方程式E=Mc和E≠Mc不可能都是正确的。●关于化学过程的计算不可能既是真的，又是假的。●一项预测不可能预测出两个不相容的事件。如果科学中存在矛盾，那它就不可能是对没有矛盾的物质世界的准确描述。类似地，数学和逻辑学也是如此：由于它们是用来描述真实世界和科学的，它们不能含有任何矛盾。然而，有一个地方的确会发生矛盾：人类思维的内部。我们所有人都充满矛盾；我们渴望矛盾的事物；我们相信矛盾的观念；我们还预测自相矛盾的事件。任何曾经谈过恋爱的人都知道对一个人又爱又恨是什么感觉。我们想吃蛋糕，又想要苗条的身材。正如《爱丽丝梦游仙境2：镜中奇遇记》（Through the Looking Glass）中皇后对爱丽丝所说的那样：“哎呀，有时候还没吃早饭，我就已经相信多达六件不可能的事情了。”人类的思维不是完美的机器。我们总是矛盾重重，充满困惑。类似地，表达人类思维状态的人类语言一定也有矛盾。当我们说“我爱她也恨她”的时候，并没有什么奇怪的。有人在享用第二块蛋糕的时候表达自己想要拥有苗条身材的愿[6]望，这也不是什么稀奇的事情。当我们在物质世界中遇到悖论并推导出矛盾的时候，我们知道这个悖论的假设一定存在什么问题。然而，当我们在人类思维或人类语言的领域遇到矛盾时，我们并不需要抛弃假设。更加微妙的状态是可能的。为什么不允许矛盾存在呢？思考一下我们之前讨论过的说谎者悖论。为什么不简单地说：这句话是假的。这句话既是真的也是假的呢？或许它只是毫无意义呢？这只是一个句子，而很多句子都会表达矛盾。类似地：这个观点是错误的。这个观点既是真的也是假的。为什么不允许这样矛盾的观念出现在我们本就混乱的思维里呢？不存在矛盾的物质世界与我们虚弱无力的人类思维和语言之间的关系导致了许多更有趣的问题。人类思维如何能够理解世界的任何一部分呢？人类组织出来的语言如何能描述世界呢？科学为什么经得起检验？数学为什么如此善于描述科学和世界？科学法则是不是客观存在，又或者它们只存在于我们的思维之中？对世界的终极描述有可能存在吗——也就是说，科学会完成它的任务，走向尽头吗？科学和数学的真相与时间有关还是与文化有关？人类如何辨别科学理论正确与否？就像阿尔伯特·爱因斯坦笔下所写的那样，“世界的永恒谜团是它可以被理解”。这些问题以及许多其他关于科学和数学的哲学问题会在第8章得到论述。在没有矛盾的物质世界和充满矛盾的人类思维之间，存在着一片充满模糊的地带。●站在门口的人既在房间里又不在房间里。●一个人要掉多少头发才会被认为是秃子？取决于风的方向，他有时会被认为是秃子，有时会被认为不是秃子。●42是个小数字还是个大数字？人们总是在使用模糊的概念。我们的思维模式和与之相伴的人类语言充满了模糊的陈述：●有时候我们说站在门口的人在房间里，有时候我们说他们不在房间里。●有些头发很少的人被我们叫作秃子，而另外一些头发同样很少的人，我们说他们不秃。●如果银行账户里只有42美元，我们会说42是个小数字，但是如果我们说的是一个人身上疾病的数量，那么42是个大数字。因为模糊概念不存在于科学和数学的纯粹世界，所以我们在面对这些概念时不能依赖某些通常的思维工具。模糊性在我们第3章的讨论中发挥着重要作用。说几句离题的话，某些类型的笑话也是我们的讨论感兴趣的内容。我们已经见到，悖论这种方法能够揭露人在理性的道路上走得太远是什么样子。出现悖论，意味着你已经超出了理性的界限，进入了荒谬的领地。有些笑话的可笑之处也在于我们在理性的道路上走得太远。这些笑话将逻辑和理性运用到它们本来不应出现的地方，开头是很容易理解的概念，然后借题发挥，超出其通常情况下的意义。思考下列笑话：●伍迪·艾伦（Woody Allen）在玄学考试中作弊了，他偷看了坐在他身边男生的灵魂。●史蒂夫·赖特（Steven Wright）说他愿意为了诺贝尔和平奖大开杀戒。●格劳乔·马克思（Groucho Marx）不想属于任何一个愿意接收他这种人当会员的俱乐部。在所有这些笑话中，正常的概念被发挥得太过分了。在考试中作弊，渴望诺贝尔和平奖，或者放弃俱乐部会员资格，这些都是很常见的概念。然而，这些伟大的思想家将这些常见概念发挥到了它们本身没有容身之处的地方：那是愚蠢可笑的境地。就连双关语也属于这一类型。在使用双关语的笑话中，某个词或短语的意思被运用到它们本来不应该出现的领域：●“你听说那个左半身被切掉的人了吗？他现在全好[7]啦。”●“我正在读一本关于反重力的书。根本没办法把它放下来。”●“你听说过悖——论（par-a-dox）吗？夏皮罗医生和[8]米勒医生。”哎呀！（抱歉。唯一比双关语更糟的就是对双关语的分析了。让我们继续吧。）我想用若干关于理性本质及其局限的问题作为前言的结尾。读者应该带着这些问题阅读这本书。我会在最后一章回到这些问题上并使用书中表达的某些理念进行分析，或许这样能够更接近这些问题的答案。如果我写了一本名为《理性的边界》的书却没有给出理性的定义，那就太大意了。毕竟，如果我们不对理性进行定义的话，我们怎么能说某个事物超出了理性的边界呢？什么是确认事实的理性过程？理性有不同层次的分别吗？我们如何认定炼金术和化学之间的分界线呢？占星术和天文学之间呢？为什么有些行为被认为是理性的，而另外一些行为被认为是非理性的？为什么检查自己的血压是明智的，而确认自己的星座就是荒谬可笑的呢？什么样的思维过程是明智的，并且能够避免矛盾呢？《牛津英文词典》对“理性”这个词给出了16种定义。最符合我们需要的定义是：“通过合乎逻辑的思考过程并形成有效判断的思维能力；用来将思想或行动改造至一定水平的精神智力；人类思维在思考过程中的指导原则；常与意志、想象力、热情等对比使用；常被拟人化。”但是这个定义又引出了更多问题。什么是“有效判断”？合乎逻辑的过程与不合逻辑的过程之间的区别是什么？思维什么时候属于意志，什么时候属于理性？这个定义无法令人满意。其他所谓的定义也没有好到哪里去。在我们的整体讨论中，一直存在着某种程度的自我指涉。我们是在用理性寻找理性的局限。如果理性是有局限的，我们要如何用理性来发现这些局限呢？我们发现局限的能力又存在着什么样的局限呢？让我们先暂时搁置这些问题，然后到第10章再回顾它们，届时我们会对这场针对理性局限的探索做出总结。[1]摘自Kant（1969）的序。德语原文是Die menschliche Vernunft hat das besondere Schicksal in einer Gattung ihrer Erkenntnisse: daß sie durch Fragen belästigt wird,die sie nicht abweisen kann; denn sie sind ihr durch die Natur der Vernunft selbst aufgegeben,die sie aber auch nicht beantworten kann; denn sie übersteigen alles Vermögen der menschlichen Vernunft。[2]不能确定爱因斯坦是否真的说过这句话。不过Horgan（1996，83）引用了翰·阿奇博尔德·惠勒（John Archibald Wheeler）类似的说法：“我们的知识是一座岛屿，无知则是海滨，随着岛屿的增大，海滨也随之增大。”弗里德里希·尼采（Friedrich Nietzsche）在《悲剧的诞生》（The Birth of Tragedy；2000，97）中使用了同样的隐喻：“但是科学被其强有力的幻觉所鼓舞，不可抗拒地朝着它的极限狂奔而去，在那里，它隐藏在逻辑本质之中的乐观主义折戟沉沙。因为科学的圆周上有无数的点；虽然无法知道能否看到这个圆的全貌，但高贵而有天赋的人仍然不可避免地抵达了圆周上的这些边界点，从这里凝视那些依然黝黑的地方。”[3]这个说法需要一点解释。我们必须将工艺或技术与艺术和创造力区分开来，前两者是以自己为基础的，而后两者不以自身为基础。实际上，创造力要求艺术与先人不同。当我们认为最伟大的文学是几个世纪前但丁和莎士比亚的创作时，就很难说文学是以自身为基础逐渐进步的。20世纪的大屠杀、种族灭绝和战争都是人类道德进步观念的反例。[4]这个棋盘和多米诺谜题摘自Gardner（1994），在原文中称为“残缺的棋盘”（Mutilated Chessboard）。不过这个谜题的历史比这篇文章久得多。[5]摘自Quine（1966，3）。[6]我并不是在将人类思维等同于人类语言。后者的组织化程度、一致性和编码化程度都远胜过前者。人类思维并不一定必须让除了思想者之外的任何人明白——实际上通常情况下除了思想者之外没人明白，然而人类语言是使人类思维能够被其他人理解的一种尝试。口语是如此，书面语言就更是如此了。书面词汇需要更高的编码化和组织化水平。一份出色的书面作品必然非常规范且清晰，才能让其他许多人欣赏。相比之下，文学理论家将“沦落”到人类思维层次的书面语言称为“意识流”。此类文学作品的范例包括詹姆斯·乔伊斯（James Joyce）的《芬尼根守灵夜》（Finnegans Wake）和T.S.艾略特（T.S.Eliot）的《J.阿尔弗雷德·普鲁弗洛克的情歌》（The Love Song of J.Alfred Prufrock）。大多数人都认为这些作品难以读懂。俄罗斯心理学家利维·维谷斯基（Lev Vygotsky）的书《思想和语言》（Thought and Language）以及维特根斯坦（Wittgenstein）后期的著作探讨了人类思想和语言之间的关系。然而思想和语言都容易产生矛盾。[7]原文“He’s ll right now ”按照字面可理解为“他现在全都是右边了”。[8]悖论的英文单词“Paradox”可拆分成“par-a-dox”，与“pair of docs ”谐音，意为“一对医生”。第2章 人类自相矛盾的语言和思维我们生活的世界和语言之间有一项重大不同之处：真实的世界没有矛盾，而人造的语言对这个世界的描述却存在矛盾，我们的思维模式和与之相伴的人类语言充满了模糊的陈述。他们谈论的那些关于我的谎言有一半都不是真的。[1]——尤吉·贝拉（Yogi Berra）[2]对于我们无法言说的，我们必须保持沉默。——路德维希·维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein，1889—1951），《逻辑哲学论》（Tractatus Logico-Philosophicus）第7章毕竟，关于不能言说的事物，维特根斯坦有许多话可以说。——伯特兰·罗素（Bertrand Russell，1872—1970），维特根斯坦《逻辑哲学论》的序与其一开始就直奔主题，谈论理性的局限，我们不如由浅入深，先看一下语言的局限。语言是一种工具，用来描述我们生活在其中的世界。然而千万不要把地图和真实的土地混淆了！我们生活的世界和语言之间有一项重大不同之处：真实的世界没有矛盾，而人造的语言对这个世界的描述却存在矛盾。在本章第1节中，我们会遇到著名的说谎者悖论以及它的众多变体。我们将从这些相对容易的谜题开始探索。第2节包括一系列自我指涉类型的悖论。我会指出它们都拥有相同的形式。在第3节中，我们将遇到若干与描述数字有关的悖论。[1]哎呀，我不能确定尤吉·贝拉是否真的说过这句话。[2]德语原文：Wovon man nicht sprechen kann,darüber muß man schweigen。语言中的矛盾语言悖论指的是与自身矛盾的短语或句子。语言悖论最简短的版本是矛盾修辞法［oxymoron，源自希腊语单词“oxys”（尖锐）和“moros”（愚蠢）——合并之后的意思是“突出地傻”或“突出地无趣”］。使用矛盾修辞法的短语通常由两个互相矛盾的词组成，例如“原创复制品”“公开的秘密”“无疑很困惑”“好战的和平主义者”“更大的一半”“单独在一起”，还有我最喜欢的“自然而然地行动”。虽然这些短语其实根本说不通，但我们人类仍然会在日常语言中毫不迟疑地使用它们。语言悖论的经典案例是著名的埃庇米尼得斯悖论，它的历史已经超过了两千五百年。埃庇米尼得斯（Epimenides，公元前600年）是一位生活在克里特岛上的哲学家和诗人，他曾在一首名为《克里特》（Cretica）的诗中这样抱怨自己的邻居们：“克里特人，都是些骗子、邪恶的野兽、大腹便便的懒[1]蛋！”这似乎是悖论。如果这个陈述是真的，那么既然埃庇米尼得斯是克里特人，那么他就是在称自己是骗子，于是这行诗句就是假的。相反，如果它是假的，那么埃庇米尼得斯就不是骗子，于是这句话又成真的了。很多语言悖论都和埃庇米尼得斯的话类似。说谎者悖论是一个简单的句子，如：我在说谎。或：这个句子是错的。如果这些句子是真的，那么它们就是假的。而如果它们是假的，那么它们就是真的。说谎者悖论有许多种不同的形式。例如，我们可以将某个句子表示为L，然后说L声称自身为假：11L：L为假。11和上面的情况一样，如果L是真的，那么它就是假的。而1如果L是假的，那它就是真的。说谎者悖论还有其他一些变体，1在这些变体中，句子并不直接自我指涉。思考下面这两个句子：L：L为假。23L：L为真。32如果L是真的，那么L就是假的，也就意味着“L为真”232是假的，因此L是假的。相反，如果L是假的，那么L是真的，223而L声称L是真的。哎呀！矛盾出现了。32需要指出的一点是，仅仅因为句子指涉自身和自身的谬误，并不一定意味着会产生矛盾。思考这两个句子：L：L为假。45L：L为假。54让我们假设L为假。那么L就为真，即L为假。同样，如454果一开始认为L是真的，那么就会推出L为假，因此L为真。454无论哪一种假设都不会产生矛盾。说谎者悖论还有许多其他形式：●本页唯一有下画线的句子是个彻头彻尾的谎言。●本页使用粗体印刷的句子完全是谬误。●本页使用粗体印刷的句子后面的句子不是真的。这些句子为真还是为假呢？说谎者悖论存在的历史已经超过两千五百年了，哲学家们设计了多种不同的方式来避免这些矛盾。为了避免这些语言悖论，一些哲学家声称这些与谎言有关的句子既不是真的也不是假的。毕竟并不是每一句话都要么为真，要么为假。问句如“去你家还是我家？”和祈使句如“去死吧你！”都既非真亦非假。我们通常认为陈述句如“雪是白的”要么为真，要么为假，但这些和说谎相关的句子表明，有些陈述句既不是真的，也不是假的。还有一些人声称，“这个句子是假的”这句话在语法上本来就是不正确的。毕竟，“这个句子”指的是什么呢？如果它确有所指，我们应该能够将“这个句子”替换成它所指代的事物，无论该事物是什么。让我们来试一下：“这个句子是假的”是假的。这句话在语法上是正确的，而且它可能是真的或者是假的。但它不再自我指涉，也不等同于最初的说谎者句子。这类似于句子“此句为假”有4个字。这是真的，而：“此句为假”有5个字。这是假的。如果有一句话语法上完全正确，而且还是自我指涉类型的悖论就好了。W.V.O.奎因非常聪明地找到了一个例子。思考奎因的这句话：“前面出现对自身的引用时产生谬误”前面出现对自身的引用时产生谬误。首先需要注意的是，这句话完全符合语法。整句话的主语是双引号里面的内容，谓语动词是产生。现在让我们来问问自己它是否为真。如果它是真的，那么当你将主语中的内容应用到整个句子时，就出现了谬误。于是这个句子是假的。相比之下，假如这个句子是假的呢？那就意味着当主语应用到整个句子时，没有产生谬误，得到的是一个真实的句子。也就是说，如果假设奎因的句子是假的，就会推导出它是真的。这是一个语法上完全正确然而又自相矛盾的句子。针对引起悖论的句子，另一个可能的解决方案是限制语言的使用，以避免出现这样的句子。有人说语言应该分成不同的等级。他们声称，句子不能谈论与自身等级相同或更高的其他句子。例如，等级最低的句子有“草是绿的”和“我的笔是蓝色的”等等。而再高一级的句子描述的是最低等级的句子，例如：“草是绿的”是一句显而易见的话。或：“我的笔是蓝色的”有7个字。让我们再升高一级：“‘我的笔是蓝色的’有7个字”是一个不折不扣的事实。通过限制句子的类型，我们将避免下面这种句子：本页使用斜体印刷的句子符合语法规范。这个句子描述自身，因此它的谈论内容与自身同级。它被认为不合语言规范。每个句子都只能谈论位于自身“之下”的句子。如果某个句子谈论与自身级别相同的句子，那么它就会被宣布是无意义的。这种分级方法将避免自我指涉的情形出现，因此也就不会导致矛盾。在这样的限制下，语言学家们确信自己禁止了大多数导致悖论的语句。然而这个解决方案显得有些刻意为之。常用的人类语言总是能游刃有余地处理某些类型的自我指涉：●某人说：“噢！我今天醉醺醺的，不知道自己在说什么。”他意识到自己在说这句话了吗？●卡莉·西蒙（Carly Simon）唱的一首歌中有这样一句歌词：“你是如此自负，你大概以为这首歌是关于你的。”但这首歌就是关于他的！●“每个规则都有例外，只有一个规则例外：这一个。”●“绝不说‘绝不’！”●“唯一的规则是没有规则。”在所有这些例子以及不胜枚举的更多例子中，人类语言都在违反这个只能谈论位于自身“之下”句子的规则。在每个例子中，句子都在谈论自身。然而不知为什么，所有这些例子都被认为是规范的人类语言。针对悖论语句，另一个可能的解决方案已在第1章提及，即人类语言是人类思维的产物，因此必然蕴含着矛盾。人类语言不是全无不协调之处的完美系统（完美系统包括数学、科学、逻辑和物质世界）。我们何不简单地承认这样一个事实，即人类语言有瑕疵和内在的矛盾。这在我看来十分合理。[1]一些分析指出，埃庇米尼得斯的宣言并不是真正的悖论。首先，我们默认骗子的每句话都是谎言。这是不对的。骗子是说过至少一次谎的人。我们这辈子都至少说过一次谎，所以我们全都是骗子。此外，推导出矛盾的逻辑也存在问题。假设某一时刻，埃庇米尼得斯在说真话。这说明他是个说谎者，这句话是假的。但假句并不是矛盾。相比之下，假设这一时刻埃庇米尼得斯说的句子是假的。这意味着并非所有克里特人都是骗子，存在一个不是骗子的克里特人。这样一个可敬的讲真话的人可以是岛上的任何人。（如果埃庇米尼得斯是整座岛上唯一的人呢？）如果这个讲真话的人是埃庇米尼得斯，那么他就是在讲真话，这个句子就是真的。这就会产生矛盾了。然而讲真话的人不需要是埃庇米尼得斯，可以是岛上的任何人。所以只要我们接受埃庇米尼得斯说的是假话就可以了。最后还有一个有趣的概念需要指出。我们已经判定埃庇米尼得斯的陈述不可能是真的，一定是假的。按照逻辑推理，我们由此断定岛上必定有某个讲真话的人。这展示了语言和逻辑的力量：从埃庇米尼得斯所说的话中，我们推断出了他人的诚实。虽然埃庇米尼得斯悖论存在这些问题，但我们将看到，其他类似的语言悖论是真正无疑的悖论。一个经典的悖论案例结果却不是真正的悖论。这太有悖论感了！自我指涉悖论造成说谎者悖论这一问题的原因是语言可以用来描述语言。具体地说，就是一句话可以讨论它自身的真实性。语言描述语言的能力是一种自我指涉。从这种自我指涉中诞生的悖论是本节探讨的主题。虽然这些悖论本身并不是语言悖论，但它们与说谎者悖论非常相似，并且有助于我们理解自我指涉的真正本质。英国哲学家伯特兰·罗素曾经描述过一个十分有趣的小悖论，后来称为理发师悖论。想象一下，在奥地利的阿尔卑斯山区有一座偏僻的小村庄，村子里只有一名理发师。有的村民自己刮胡子，有的村民找理发师刮胡子。村子里的每个人都遵守下列规则：所有不自己刮胡子的人都必须找唯一的理发师刮胡子，而所有自己刮胡子的人都不劳烦理发师动手。这似乎是一条无关痛痒的规则。要是能通过给自己刮胡子的方式省下一笔钱的话，他们为什么还要去找理发师呢？如果他们去找理发师的话，他们为什么还要自己刮胡子呢？现在，你只需要问问自己下面这个问题：谁来给理发师刮胡子呢？理发师也是村民的一员，所以如果他不自己刮胡子的话，他必须去找理发师。但他自己就是理发师，于是他变成了自己刮胡子的人。如果他给自己刮胡子的话，那就是理发师给他刮[1]胡子，所以他应该去找理发师，而不应该给自己刮胡子。我们可以用图2.1来表示理发师悖论。我们将所有村民这个集合分成两部分，看一看理发师应该位于左边还是右边。图2.1 理发师在哪个子集里呢？与说谎者悖论不同，理发师悖论的解决方案非常简单：符合这种描述的村庄是不存在的。它不可能存在，因为对它的描述隐藏着内在矛盾。我们对村民的描述在理发师身上施加了矛盾。既然真实的世界不可能有矛盾，这座村庄也就不会真正存在。奥地利的阿尔卑斯山区有许多其他村庄，但它们的情况都与之不同。这些村庄可能有两个互相刮胡子的理发师；可能有一名不需要刮胡子的女性理发师；还可能住着一些嬉皮士，胡子头发长得老长，根本不需要任何理发师。对其他村庄的这些描述是完全合理的，不会产生任何自相矛盾的结果。但罗素描述的村庄不可能存在。还有一个机智的悖论涉及英语中的形容词，称作非自状悖论（heterolo-gical paradox）或格雷林悖论（Grelling’s paradox）。想一想English（意为“英语的”）这个词。English是一个英语词。然而相比之下，French（意为“法语的”）却不是一个法语词（它是一个英语词）。让我们将视线转向其他形容词，看看它们是如何指涉自身的：polysyllabic（意为“多音节的”）是多音节的。monosyllabic（意为“单音节的”）不是单音节的。pentasyllabic（意为“有五个音节的”）有五个音节。misspelled（意为“拼错的”）没有拼错。adjectival（意为“形容词性的”）是形容词性的。female（意为“雌性的”）不[2]是雌性的。awkwardnessfull（意为“笨拙的，累赘的”）是[3]笨拙、累赘的。unpronounceable（意为“无法发音的”）不是无法发音的。实际上，我们有两类形容词：一类是描述自身的，另一类是不描述自身的。所有描述自身的形容词都被称作是自状的（autological，来自希腊语单词auto和logos，前者意为“自己”或“自身的”，后者意为“词”、“言语”或“推论”；亦称homological）。相比之下，所有不描述自身的形容词都被称作是非自状的（heterological，来自希腊语单词heteros，意为“其他的”或“不同的”）。所以English、polysyllabic、adjectival等单词都是自状的形容词。相比之下，French、monosyllabic、unpronounceable等都是非自状的形容词。建立了这两个类群之后，我们现在可以提出下面这个问题：heterological这个形容词是非自状的吗？让我们假设非自状的是非自状的。那么参照：English是英语的⇒English是自状的，于是：heterological是非自状的⇒heterological是自状的。因此heterological不是非自状的。相比之下，如果我们一开始就采取相反的态度，认为heterological不是非自状的，那么只要我们参照：French不是法语的⇒French是非自状的，于是：heterological不是非自状的⇒heterological是非自状的。我们得到的结论是，当且仅当heterological这个词不是非自状的时候，它才是非自状的。哎呀！这真是个棘手的矛盾。我们可以在图2.2中将这个自指悖论表示出来。图2.2 heterological属于哪个子集？这个悖论似乎也存在一个简单的解决方案：heterological这个词不存在，或者说即使这个词存在，它也没有任何意义。我们已经看到，如果有人定义了heterological，那么矛盾就会立即产生。为了解决这个矛盾，可以说这个词不存在，就像说理发师悖论中的村庄不存在一样。然而，我们不能只是随便挥挥手，宣布heterological这个词不存在或者没有意义，就可以解决所有问题。这个问题深深地根植于语言的本质。与其关注heterological这个词，不如思考与它有关的一个形容词性短语，“与自身不符的”（not true of itself）。你只需要问一问“与自身不符的”是否符合自身。只有它不符合自身时，它才与自身符合。我们只需要假设“与自身不符的”不是合理的形容词性短语就万事大吉了吗？这个短语里的任何一个字都没有问题。和heterological这个词相比，这个短语没有任何类似的怪异之处。然而，当我们使用它时仍然会遭遇矛盾。图书目录悖论（reference-book paradox）与非自状悖论非常相似。图书目录也是一种书，它按照不同的分类将一批图书罗列出来。图书目录有很多本，而且会列出许多不同类型的书。有的图书目录罗列的是古代典籍，有的是人类学图书，有的是关于挪威动物区系的图书等。有些图书目录会把自己也列出来。例如，如果有人要出版一本将有史以来出版过的所有图书都列出来的图书目录，它一定会将自己包括进来。还有一些图书目录不会将自己列出来。例如，关于挪威动物区系的图书目录就不会将自己列出来。设想一下，如果存在这样一本图书目录，它列出了所有不列出自己的图书目录。现在问问自己下面这个简单的问题：这本书列出自己吗？只需要稍微想一想就知道，只有在这本书不列出自己的时候，它才列出自己。我们的结论是，不可能存在这样的图书目录，令其内容符合这条规则。（关于这个悖论，也可以画出与图2.1和图2.2类似的图示，我把这个任务留给读者，试一试吧。）伯特兰·罗素使用理发师悖论解释了一个更加严肃的悖论，即罗素悖论（Russell’s paradox）。它比我们见到的其他自指悖论更加抽象，很值得思考。假设存在不同的集合：所谓集合即由一系列对象组成的合集。某些集合只包括简单的元素，而某些集合包括其他集合。例如，一所学校可以看作是一个集合，由不同的年级组成，而每个年级也是一个集合，组成元素是该年级的学生。某些集合甚至包含自身。本书列出的所有集合构成的集合包含自身。元素数量超过5个的所有集合构成的集合包含自身。当然，也有很多集合不包含自身。例如，设想一下由所有红苹果构成的集合，它不包含自身，因为一个红苹果不是集合。罗素想让我们假设这样一个集合R，它包含了所有不包含自身的集合。现在提出下面这个问题：R包含自身吗？如果R的确包含自身，那么根据R的定义，它不会被R包含。另一方面，如果R不包含自身，那么它满足属于R的条件，因此包含在R内。我们推出了矛盾。这种情形可以用图2.3表示。图2.3 集合R属于哪个集合？通常情况下，这一悖论的“解决”方案是假定集合R不存在，也就是说，由所有不包含自身的集合组成的集合不是一个合法的集合。如果你要讨论这个不合法的集合，你就是在超越理性的束缚。但是我们为什么不能讨论集合R呢？它对构成自身的对象进行了完美无瑕的描述，找不出一丁点问题。它看上去当然很像是个合法的集合。然而为了根除矛盾，我们必须约束自己。对于每一种清晰的描述而言，符合这种描述的所有事物都能组成一个集合，这种显而易见（而且似乎非常合理）的观念不再那么显而易见（或者合情合理）。对于“红色的东西”这种清晰的描述，存在一个包含所有红色东西的集合。然而，对于“所有不包含自身的集合”这样看似清晰的描述，却不存在符合这一性质的集合。我们必须调整我们的认知，重新审视[4]哪些事物是显而易见的。说谎者悖论可以概括成一句话：这个句子是假的。它还可以概括成下列描述：一个否定自身的句子。类似地，其他4种自指悖论可以概括成下列4种描述：●“给所有不自己刮胡子的村民刮胡子的村民。”●“描述所有不描述自身的词汇的词。”●“列出所有不列出自身的图书的图书目录。”●“包含所有不包含自身的集合的集合。”如你所见，所有这些描述都拥有完全一样的结构（亦如图2.1至图2.3所示）。每次存在自我指涉，都会有产生矛盾的可能。这些矛盾必须避免，因此需要对此进行限制。我们会在整本书里探讨这样的限制。在开始下一节之前，还有一个有趣的结果需要我们进一步思索。你可能会认为每一种语言悖论都有某种程度的自我指涉。也就是说，一定存在某种返回起点的环状推理链条。这曾经是普遍观念，直到斯蒂芬·亚布罗（Stephen Yablo）提出了一个机智的悖论，名叫亚布罗悖论（Yablo’s paradox）。思考由下列句子组成的无穷序列：K对所有i>1，K为假1iK对所有i>2，K为假2iK对所有i>3，K为假3i…K对所有i>m，K为假miK对所有i>m+1，K为假…m+1iK对所有i>n，K为假ni…每个句子都声称所有后来的句子为假。注意，没有任何一个句子指涉自身，这一长串链条也不会返回自身的起点。然而矛盾依然存在，因为我们不能说任何一个句子是真的或是假的。设想某一数值m，并假设K为真。K声称Km，Km，Kmmm+1+2…都为假。将其分开，我们得到K为假，而K，K…mmm+3+1+2+3都为假。然而Km声称所有Km，Km…都为假，也就意味着+1+2+3K为真。因此，通过假设K为真，针对K的真假状态，mm+1m+1我们得到了矛盾。图2.4表示了这一过程。图2.4 亚布罗悖论——假设为真相反，对于任意数字m，我们假设K为假。那就意味着m若n>m，并非所有的K都为假，至少存在一个大于m的n令Knn为真。但是我们看到如果K为真，我们就会得到图2.5所表示n的矛盾。试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]