作者：柳艳杰
出版社：机械工业出版社
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材料力学试读：
前言
材料力学是一门古典的、传统的力学。它有成熟的内容及体系，而且市面上已有大量的公开出版的材料力学教材。但是这些教材大都针对重点院校一本的学生，而针对应用型本科的并不多。本书作者在编写此书的过程中，根据教材的定位精炼内容，强化基本概念、基本理论和基本方法，淡化烦琐的数学推导和数学运算的原则，同时加强工程概念，体现出分层次、启发式教学的特点。本书理论阐述严谨，文字通俗易懂，图文结合紧密，便于学生自学。本书在编写时按照“够用”“能用”“会用”的原则，对于理论性较强、公式推导难度较大的内容用“*”号标记，这部分内容是报考研究生的学生所必须掌握的。这种难易区分方式，一方面保留材料力学本身的系统性、科学性；另一方面可以保证大多数学生能够掌握材料力学的重点知识和实用知识。本书还包括了许多与工程实际相联系的内容，以及是从实际工程中抽象出来的例题和问题，加强了理论和实际的联系。
本书的第一章由安阳工学院来佳雯编写，第二章、第五章由黑龙江东方学院胡金萍编写，第三章由黑龙江大学鄂丽华编写，第四章由黑龙江大学王淑娟编写，第六章由黑龙江大学安英浩编写，第七章～第九章以及附录由黑龙江大学柳艳杰编写。全书由柳艳杰担任主编，胡金萍，王淑娟担任副主编，哈尔滨工业大学赵树山教授担任主审。
限于编者水平，本书难免存在诸多疏漏、不妥乃至错误，诚望广大读者在使用本书后给我们提出宝贵意见，以利及早改进。编 者第一章 绪论及基本概念第一节 材料力学的任务
工程结构或机械的各组成部分，如建筑物的梁和柱、机床的轴等，统称为构件。当工程结构或机械工作时，构件将受到各种外力的作用，例如，厂房外墙受到的风压力，吊车梁承受的吊车和起吊物的重力，桥梁中的桥墩受到水的冲击力等，这些力称为荷载。构件一般由固体制成，在荷载的作用下，固体有抵抗破坏的能力，但这种能力又是有限度的。而且，在荷载的作用下，固体的尺寸和形状还将发生变化，称为变形。
为保证工程结构或机械能安全正常地工作，必须要求构件在外力作用时具有一定的承载能力。承载能力表现为以下三个方面：（1）强度 强度是指构件抵抗破坏的能力。构件在外力作用下不被破坏，表明构件具有足够的强度。（2）刚度 刚度是指构件抵抗变形的能力。构件在外力作用下发生的变形不超过某一规定值，表明构件具有足够的刚度。（3）稳定性 稳定性是指构件承受外力作用下，保持原有平衡状态的能力。构件在外力作用下，能保持原有的平衡形态，表明构件具有足够的稳定性。
构件的强度、刚度、稳定性问题均与构件所用材料的力学性能（主要是指在外荷载作用下的力学表现）有关，这些力学性能均需要通过材料试验来确定。
材料力学不是纯理性的科学，它与工程实际有着密切联系，它的研究方法包括实践（验）→理论→再实践→再理论的循环发展的全过程。材料力学的任务就是从理论和试验两方面，研究构件的内力、应力、变形和位移，在此基础上进行强度、刚度和稳定性计算，以便合理地选择构件的尺寸和材料。必须指出，要完全解决这些问题，还应考虑工程上的其他问题，材料力学只是提供基本的理论和方法。第二节 材料力学的基本假设
工程中的构件都是由一些固体材料（如钢、铁、木材、混凝土等）制成，它们在外力作用下会产生变形，称变形固体。其性质是十分复杂的，为了研究的方便，材料力学抓住主要性质，忽略次要因素，对变形固体做如下假设：（1）连续性假设 这是假设组成固体的物质毫无空隙地充满了固体的体积，即固体在其整个体积内是连续的。根据这个假设，当把某些力学量看成固体内点的坐标的函数时（如位移），对这些量就可以进行以坐标增量为无限小的极限分析，从而有利于建立相应的数学模型。（2）均匀性假设 这是假设从物体内任意一点处取出的体积单元，其力学性能都能代表整个物体的力学性能。也就是说，固体各点的材料性质都是一样的。根据这个假设，从构件内部任何部位切取的微小单元体都与构件具有相同的性质。（3）各向同性假设 这是假设材料沿各个方向力学性能是相同的。对于钢板、型钢或铝合金板、钛合金板等金属材料，由于轧制过程造成晶体排列择优取向，沿轧制方向和垂直于轧制方向的力学性能会有一定的差别，且随材料和轧制加工程度不同而异，但在材料力学的计算中，通常不考虑这种差别，而仍按各向同性进行计算。不过对于木材和纤维增强叠层复合材料等，其整体的力学性能具有明显的方向性，就不能再认为是各向同性的，而应按各向异性来进行计算。
如上所述，在材料力学的理论分析中，以均匀、连续、各向同性的可变形固体作为构件材料的力学模型，这种理想化了的力学模型代表了各种工程材料的基本属性，从而使理论研究成为可行。用这种力学模型进行计算所得的结果，在大多数情况下是能符合工程计算精度要求的。
材料力学中所研究的构件在承受荷载作用时，其变形与构件的原始尺寸相比通常甚小，可以略去不计，称“小变形”。所以，在研究构件的平衡、运动以及其内部受力和变形等问题时，均可按构件的原始尺寸和形状进行计算。
工程上所用的材料，在荷载作用下均将发生变形。当荷载不超过一定的范围时，绝大多数的材料在卸除荷载后均可恢复原状。但当荷载过大时，则在荷载卸除后只能部分地复原而残留下一部分变形不能消失。在卸除荷载后能完全消失的那一部分变形，称为弹性变形，不能消失而残留下来的那一部分变形，则称为塑性变形。多数构件在正常工作条件下，均要求其材料只发生弹性变形，如果发生塑性变形，则认为是材料的强度失效。所以，在材料力学中所研究的大部分问题，都局限于弹性变形范围内。
综上所述，在材料力学中是把实际材料看作均匀、连续、各向同性的可变形固体，且在大多数情况下局限在弹性范围内和小变形条件下进行研究。第三节 内力、截面法、应力和位移
一、内力的概念
内力是构件因受外力而变形，其内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用。众所周知，即使不受外力作用，物体的各质点之间也存在着相互作用的力。材料力学的内力是指在外力作用下，上述相互作用力的变化量，是物体内部各部分之间因外力引起的附加的相互作用力，即“附加内力”，简称内力。材料力学所研究的内力是由外力引起的，内力随外力的变化而变化，外力增大，内力也增大，外力撤销后，内力也随着消失。
显然，构件中的内力是与构件的变形相联系的，内力总是与变形同时产生。构件中的内力随着变形的增加而增加大，但对于确定的材料，内力的增加有一定的限度，超过这一限度，构件将发生破坏。因此，内力与构件的强度和刚度都有密切的联系。
二、截面法
内力是构件内相邻部分之间的相互作用力，计算内力一般采用截面法。由于构件整体的平衡性，由静力学可知，构件截开的每一个分离体也应该是平衡的，因此，作用在分离体上的外力必须与截面上的内力相平衡。这种由平衡条件用假想截面建立内力与外力之间关系来求内力的方法称为截面法。
截面法主要有以下三个步骤：（1）截开 在需要求内力的截面处，用一假想截面将构件截为两部分。（2）代替 移走其中任一部分，将去掉的部分对留下部分的作用以相应的力（或力偶）来代替。（3）平衡 对留下部分建立平衡方程，根据该部分所受的已知外力来计算截开面上的未知内力。
三、应力
工程实际中的一般物体总是从内力集度最大处开始破坏的，因此只按静力学中所述方法求出截面上分布内力的合力(力和力偶)是不够的，必须进一步确定截面上各点处分布内力的集度。为此，必须引入应力的概念。
在图1-1a中受力物体某部分的截面上某点M处的周围取一微面积ΔA，设其上分布内力的合力为ΔF。ΔF的大小和指向随ΔA 的大小而变。ΔF/ΔA 称为面积ΔA上分布内力的平均集度，又称为平均应力。如令ΔA→0，则比值ΔF/ΔA的极限值为
它表示一点上分布内力的集度，称为一点上的总应力。由此可见，应力是截面上一点处分布内力的集度。为了使应力具有更明确的物理意义，可以将一点上的总应力p分解为两个分量（图1-1b）：一个是垂直于截面的应力，称为正应力，或称法向应力，用σ表示；另一个是位于截面内的应力，称为切应力，或切向应力，用τ表示。物体的破坏现象表明，拉断破坏和正应力有关，剪切错动破坏和切应力有关。图1-1 一点处的应力
应力p与正应力σ、切应力τ的关系为-1-2
应力的量纲是MLT。在国际单位制中，应力的单位名称是［帕斯卡］，符号为Pa，也可以用兆帕(MPa)或吉帕(GPa)表示，其639关系为1MPa=10Pa，1GPa=10MPa=10Pa。
四、位移
构件在外力作用下，将要发生变形，一般情况下，其整体以及其上各点、各个截面的空间位置都将发生变化，这个空间位置的改变称为位移。工程上研究位移时，大多数情况是确定构件上某些指定点和某些指定面的位移，用于构件刚度的度量。
位移分为线位移和角位移。点的位置改变称为线位移，截面或者线段方位角的改变称为角位移。线位移和角位移即包含变形位移又包含刚体位移，两者都与构件的原始尺寸有关，所以不能用于度量构件的变形程度。为此要引入新的物理量，即应变。
构件受力变形后，其上各个微小部分的形状都将改变，应变就是用于度量构件上一点的变形程度的基本量。应变分为线应变和切应变。单位长度的改变量称为线应变，线应变是一个无量纲量。材料力学中将直角的改变量称为切应变。
一般来说，受力构件上各点的变形程度不完全相同，因此，线应变和切应变都是点的位置坐标的函数。在研究构件变形时，如果能够找出各点的应变函数，则可以确定整个构件的变形。第四节 杆件的基本变形形式
工程实际中的构件，形式多种多样。一般情况下构件从几何角度上多抽象为杆件和板件。所谓杆件，是指纵向（长度方向）尺寸远比横向（垂直于长度方向）尺寸要大得多的构件，简称为杆（图1-2a、b）。建筑房屋中的梁、柱等都可以简化为杆件。板件是指一个方向的尺寸（厚度）远小于其他两个方向（长度方向和宽度方向）尺寸的构件（图1-2c）。屋面板、雨篷等都可以简化为板件。材料力学的主要研究对象是杆件及由杆件组成的简单杆系。
横截面和轴线是杆件的两个主要元素。横截面指的是杆件垂直于其长度方向的截面，轴线指的是所有横截面形心的连线。轴线与横截面是互相垂直的。如果杆件的横截面不变化，此杆就称为等截面杆（图1-2a）；相反，如果杆件的横截面是变化的，则称为变截面杆（图1-2b）。根据轴线形状的不同，杆件分为直杆和曲杆。如果等截面杆的轴线是一条直线，则称为等直杆。等直杆的计算原理也可近似地用于曲率很小的曲杆和横截面变化不大的变截面杆。图1-2
杆件在不同受力情况下，将产生各种不同的变形，但是，不管变形如何复杂，通常是以下的四种基本变形或是它们的组合。（1）轴向拉伸或压缩 直杆受到与轴线重合的外力作用时，杆的变形主要是轴线方向的伸长或缩短，这种变形称为轴向拉伸或压缩，如图1-3a所示。简单桁架在荷载作用下，它的杆件就发生轴向拉伸或轴向压缩。（2）剪切 在一对相距很近的大小相同、指向相反的横向外力作用下，直杆的主要变形是横截面沿外力作用方向发生相对错动，如图1-3b所示，这种变形形式称为剪切。一般在发生剪切变形的同时，杆件还存在其他的变形形式，如弯曲。（3）扭转 直杆在垂直于轴线的平面内，受到大小相等、方向相反的力偶作用时，各横截面相互发生转动，这种变形称为扭转，如图1-3c所示。机械中传动轴的主要变形就包括扭转。（4）弯曲 直杆受到垂直于轴线的外力或在包含轴线的平面内的力偶作用时，杆的轴线发生弯曲。这种变形称为弯曲，如图1-3d所示。
杆在外力作用下，若同时发生两种或两种以上的基本变形，则称为组合变形。图1-3小 结
本章介绍了工程构件正常工作的基本条件、材料力学的任务、材料力学的基本假设，介绍并讨论了材料力学中的一些基本物理量，这些都是材料力学中十分重要的概念。其中，材料力学的基本假设既是材料力学的研究条件，又是建立理论和计算公式的基础：内力、应力、位移、应变是材料力学的核心物理量：强度、刚度、稳定性则是材料力学要解决的中心问题。在具体的解决这些问题之前，了解这些概念、理解它们的力学意义，可以使后面的讨论更符合认知规律。
将一般构件的变形、应力等的计算问题，转换为基本模型的研究，是材料力学研究的特点。在学习中，要逐步加深对这种方法的理解和掌握，这对怎样学习材料力学，如何提高学习的效率和效果将有重要意义。第二章 轴向拉压杆件的强度与变形第一节 轴向拉压杆的轴力及轴力图
一、轴向拉伸和压缩的概念及实例
轴向拉伸变形或轴向压缩变形是杆件基本变形之一。轴向拉伸变形和轴向压缩变形的杆件受力特点是，作用在杆件上外力的合力作用线与杆件的轴线重合；杆件的变形特点是沿着轴线方向均匀伸长或缩短。产生这种变形的杆件被称为拉杆或压杆。
工程中承受轴向拉伸和压缩变形的杆件很多，例如,起重机的钢丝绳，节点荷载作用下的桁架中的杆件。这些杆件的受力和变形与图2-1所示的基本模型完全相同,都是轴向拉伸变形或轴向压缩变形。图2-1
二、轴力
要研究杆件的强度和刚度问题，必须首先求解出杆件的内力。取一两端受到轴向拉力作用的直杆，如图2-2a所示，求其任一中间截面m—m上的内力，按照截面法的步骤：图2-2
1）将杆件沿截面m—m切开，分为Ⅰ、Ⅱ两部分。取部分Ⅰ为分离体（可取任意一部分研究，即也可取Ⅱ为分离体），如图2-2b所示。
2）将去掉部分对留下部分的作用，用相应的内力的合力F代替。N
3）因为分离体是平衡的，分离体上外力F的作用线沿着杆的轴线，由平衡方程可知∑F=0，F-F=0xiN解得F=FN
截面上的内力的合力F也一定沿杆的轴线作用，故将该内力的N合力称为轴力。若取Ⅱ为分离体，则左段杆对右段杆的作用力合力F即为m—m截面内力，而且F=F。NN
为了使部分Ⅰ和部分Ⅱ的共同面（即截面m—m）上的轴力具有相同的正负号，联系变形情况，规定轴力使杆件拉伸时为正，压缩时为负。内力的正负符号规定后，用截面法求内力时，无论取截面哪一侧为分离体，所得内力的大小和正负号都将完全相同。若杆件受多个作用力，内力计算需分段进行。轴力单位为牛顿（N）或千牛顿（kN）。例2-1 图2-3a表示一个沿轴线受到多个荷载作用的直杆，各力大小已在图中注明，试求该杆各截面上的轴力。图2-3解：该杆外力是作用在A、B、C、D四个面上的集中力，在AB、BC、CD三段内没有外力作用，因此，只需在AB、BC、CD三段内各选一个截面，求出其轴力，则杆内各截面的轴力就完全确定。可按如下步骤求解：1）在AB段内用任意面将杆切开，取其左边为分离体，设截面上的轴力为正（拉力），以F表示（图2-3b），根据平衡条件列出N1平衡方程为∑F=0， F-5kN=0xiN1解得2）同理，在BC段内任意截面处把杆切开，取左段为分离体（图2-3c），可求得BC段内各截面的轴力：3）求CD段内各截面的轴力时，切开后，取其右边为分离体较为简便（图2-3d），仍设轴力为正，以F表示，建立平衡方程N3为解得F=-F=-3kNN34
顺便指出，在用截面法求轴力时，在无法判定内力正负的情况下，可先假设截面上的轴力为正，这样设内力的方法，称为设正法。按着设正法，如果计算出的轴力为正，说明所设轴力与实际轴力方向相同，表明该截面的轴力为拉力，杆件在该处的变形为伸长；如果计算出的轴力为负,表明该截面的轴力为压力，杆件在该处的变形为缩短。对外力较多的轴向拉伸和压缩杆件，计算某截面上的内力F时,可以像Ni上例中式（b）那样，不列平衡方程，直接写出算式，即式（2-1）表明，轴向拉伸或压缩杆件，某截面上的轴力，就等于该截面一侧所有外力的代数和。无论取截面的哪一侧为分离体，指向截面的外力都引起正的轴力；反之，背离截面的外力引起负的轴力。
三、轴力图
当杆件上受到多个轴向外力作用时，杆中的轴力将随截面的位置而变化，为了直观形象地表示轴力随截面位置不同而变化的情况，通常将其绘制成轴力图。
轴力图的绘制方法：先取杆的左端坐标原点O，画与杆的轴线平行的x轴作为基线，其上任一点值代表杆的一个对应截面位置；取纵轴F与x轴垂直，方向向上，其值代表对应截面轴力的大小。在此坐N标系中描出各截面轴力的代表值，正的轴力画在x轴上方，负的轴力画在x轴的下方，连接这些点的图线即轴力图。轴力图上须标明轴力的大小和正负。按此方法绘出的例2-1的轴力图，如图2-3e所示。
从轴力图中可以很直观看到杆件轴力最大值的截面。轴力图是轴向变形杆件强度和变形计算的重要依据。例2-2 图2-4所示，长为l，重为P的均质直杆，上端固定，下端受一轴向拉力F作用，试画出该杆件的轴力图。图2-4解：1）先求杆段的轴力函数。将杆件从距下端为x处的任一截面切开，取下段为分离体，如图2-4b所示，建立平衡方程可求得轴力：∑F=0, F-F-γx=0xN2）根据结果可知杆段的轴力图为一条斜直线，最后绘制的轴力图如图2-4c所示。其中：x=0,F=F=FNNminx=l,F=F=F+PNNmax第二节 轴向拉压杆横截面上的应力及强度计算
轴力确定后，要判断杆件的强度还需研究截面上各点的应力及其在截面上的分布规律。下面分别研究轴向拉压杆横截面和斜截面上的应力。
一、横截面上的应力
应力作为杆件截面上内力的分布集度，分布规律无法直接观察得到，为此，可以通过试验观察轴向受力杆件的变形情况，推测横截面上的应力及分布规律。
取一橡胶制成的矩形截面直杆，如图2-5所示。杆变形前,在侧面画上垂直于轴线的横线ab和cd,变形后,发现ab和cd仍为直线,且仍然垂直于轴线,只是分别平行移至a′b′和c′d′。根据上述试验现象,可做出假设:变形前原为平面的横截面,变形以后仍保持为平面且仍垂直于轴线。这个假设称为平面假设。如果假想杆件是由一根根纤维组成,由平面假设可知，轴向变形杆件任意两个横截面间所有纵向线段的伸长都相同，各纤维的受力也是一样，或者说同一横截面上各点的变形均匀。横截面上只有轴力F，所以横截面上只有正应力σ，无切应力。N由于变形均匀，假设材料也均匀，所以在同一横截面上各点正应力相同。图2-5
在杆的横截面上取微面积dA,则作用于其上的法向微内力dF=σdA,横截面上所有的法向微内力构成与横截面垂直的平行力系，由静力学关系可得由此可得轴向拉（压）杆横截面上正应力的计算公式为
式中，正应力σ的正负符号规定与轴力一致，拉应力为正，压应力为负。
应该指出，式（2-2）是平面假设得到的结果，平面假设的试验依据是如图2-5所示的两端受轴向荷载作用的等截面直杆的拉伸试验。因此，该公式仅适用于等截面或截面沿轴线缓慢变化的轴向拉（压）直杆。若截面变化率较大或在截面突然改变以及有集中力作用处的小范围内，截面上应力分布并不均匀，在这样的情况下式（2-2）得出的是横截面的平均应力，而不是其上各点的真实应力。2例2-3 图2-6表示一变截面直杆，其中A=2000mm，12A=1000mm，求图示杆各段横截面上的正应力。2图2-6解:用截面法，先求出各段杆的轴力,画出轴力图，如图2-6所示，再分别算出各段杆横截面上的正应力：比较上面计算结果，可知，该杆中绝对值最大的正应力发生在杆的BC段中，其值σ=40MPa。max
二、斜截面上的应力
应力与截面的方位有关，构件中同一点不同的截面上应力不同，杆件的破坏也不总是在横截面上发生；此外，在许多工程测量中，我们是利用斜截面应力和应变间的关系，来解决工程问题。因此，为了研究杆件的强度以及满足工程测试的需求，我们需要研究杆件斜截面上的应力。
图2-7a中给出了杆件的一个任意斜截面n—n。斜截面的位置是以横截面为参考面来确定的，设斜截面与横截面m—m的夹角为α,并规定α逆时针为正，顺时针为负。由几何关系可知，杆的轴线与斜截面外法线的正方向夹角也是α，且转向相同。因此也可以用这样的方法确定斜截面的方位。
设想用斜截面n—n将杆件截分为两部分，取其左段为分离体，以F表示斜截面n—n上的内力（图2-7b），由分离体的平衡可得α式中，F为横截面上的轴力。N
由试验结果可知，斜截面上的应力也是均匀分布的,如图2-7b所示。设一点的全应力为p，斜截面的面积为A，则αα图2-7
设横截面的面积为A,由几何关系可得A=。把此关系代入α式（b），注意到F/A=σ，可得N
将一点的全应力p沿斜截面的法线方向和切线方向分解，由图α2-7c可得斜截面的正应力σ和切应力τ为αα
式（2-3）、式（2-4）即轴向拉压杆斜截面上应力公式。该公式表明，轴向拉压杆斜截面上既有正应力也有切应力，当横截面上的应力确定后，σ和τ仅仅是截面位置α的函数，随截面方位的变化而变αα化。
关于应力的正负号，前面已对正应力做了规定。在平面问题中，切应力的正负规定如下：τ绕分离体上靠近切面的点顺时针转动为α正，反之为负。图2-7c中表示的切应力即为切应力的正方向。
当α=0°时，斜截面即横截面，由式（2-3）、式（2-4）可知：σ0°达到最大，而τ=0。这表明轴向拉压杆件绝对值最大的正应力发生0°在横截面上，其值σ=σmax
当α=±45°时，，而切应力τ则分别达到了最大和±45°最小，其值为
这表明轴向拉（压）杆件绝对值最大的切应力发生在±45°的斜截面上,其大小为横截面上正应力的一半。+45°斜截面与-45°斜截面是互相正交的两个斜截面。上面的结果表明，在互相正交的两个斜截面上，与交线垂直的切应力大小相等，正负符号相反，这一结论即是切应力互等定理。读者可自行推导，对任意的α，上述结论都是成立的。
当α=90°时，即在纵截面上，σ=τ=0。这表明轴向拉压杆件90°90°中与杆轴平行的截面上，没有任何应力。
三、强度计算
工程结构中每种材料的承载能力是有限的，当应力到达一定的数值，材料就会断裂或产生塑性变形，这统称为失效。引起材料失效破坏的应力称为极限应力，以σ表示。材料拉压时的极限应力由试验确u定，不同类型材料失效的形式不同。
为使构件有足够的强度以保证其不破坏，必须使构件的最大工作应力低于材料的极限应力σ。工程中为了使材料有一定的安全储备，u将极限应力σ除以一个系数n（n＞1）后，作为材料允许使用的最大u工作应力值，该值称为许用应力，以［σ］表示，即
式中，n称为安全系数，确定安全系数时，通常要考虑材料的力学性能、构件的重要性、使用时限和工作环境等因素。确定安全系数是一件重要而严肃的工作，安全系数取值过低，构件的安全无保障；取值过高会导致材料的浪费。
综上所述，所谓强度条件也就是构件安全工作的应力条件。根据强度条件的定义，轴向拉压杆件强度条件的表达式可写为对于等截面杆为
应用强度条件可以解决构件强度方面的三类问题：
1）校核强度。当杆件的尺寸、荷载确定时，验算上述强度条件
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