作者：冯丽霞
出版社：电子工业出版社
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对偶空间简史试读：
前言
19世纪末20世纪初，探寻积分方程求解的一般理论大大推动了数学的发展．希尔伯特在弗雷德霍姆第二型积分方程工作基础上研究积分方程的求解理论，他借助内积这个数学工具将积分方程问题转化为无穷线性方程组的求解问题，借用代数方法处理分析中的问题，其方法蕴含着泛函分析中无限维空间的对偶思想．希尔伯特有关积分方程求解的一系列论文中蕴含着深刻的泛函思想，被认为是泛函分析思想的开端，为泛函分析的发展奠定了坚实基础．
里斯充分吸收了希尔伯特积分方程工作中的思想精髓，将代数化方法推广到勒贝格平方可积函数空间、p次可积函数空间上积分方程pq的求解，在此过程中，产生了具体的对偶空间，其中L与L的对偶在数学史上具有划时代意义．里斯这些深邃的思想吸引了众多数学家对对偶空间理论的探索．
在20世纪数学更加抽象化和统一化思潮驱使下，顺应结构数学发展的趋势，产生了用统一的一般观点考虑所有这些具体对偶空间的必要性，希尔伯特和里斯的具体对偶空间思想与方法引起了一大批追随者的兴趣．这些思想方法经过奥地利数学家黑利、汉恩和波兰数学家巴拿赫等人的进一步抽象，逐步建立了抽象的对偶空间．
对对偶空间理论的历史进行研究有重要意义．首先，对偶空间是函数空间的推广，是泛函分析中的核心概念之一，对偶空间理论也是泛函分析的重要内容，对其历史进行研究有助于理解泛函分析发展的历史进程．其次，对希尔伯特、里斯、黑利、汉恩和巴拿赫等重要数学家原始文献的解读，有助于厘清数学家之间的思想传承以及他们的数学思想对近现代数学的影响．最后，这一梳理为积分方程和泛函分析的教学提供历史背景，使数学专业的学生理解抽象数学概念、数学理论背后的具体问题来源，从而促进学生更深刻地理解相关数学知识．
本书以“积分方程的求解”为主线，详细梳理了20世纪初起始的对偶空间形成过程中重要数学家的工作，探讨了如何由具体问题逐步产生抽象数学概念的过程，以及概念形成后随着新的数学理论的产生与引入如何进行更高一级抽象的过程，由此理解重要数学概念、数学理论和数学分支形成的历史脉络．
本书结构清晰、层次分明、表述准确、论述有力、内容丰富，可作为数学类专业高年级本科生和研究生学习泛函分析和泛函分析史的参考用书，也可作为科学史工作者和数学爱好者的参考用书．
衷心感谢导师李文林研究员及西北大学曲安京教授对本书的指导和帮助，感谢家人对我的关心、支持和帮助，感谢国家自然科学基金（11471189）及山西师范大学数学与计算机科学学院的资助．尽管作者对书稿进行了多次校对，由于水平有限，不足之处在所难免，敬请各位读者批评指正．第1章 绪论1.1 背景及意义
19世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段．由于欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新兴学科；对于代数方程求解问题的一般思考，创立了群论；对数学分析的进一步研究又建立了集[1]合论等．19世纪的数学已经呈现出千姿百态的多样性，到了19世纪末20世纪初，“出现了用统一的观点来理解19世纪数学各个分支所积[2]累的大量实际材料的必要性．”在这样的观点下，“泛函分析的基[3]本概念从不同的方面和不同的联系中产生了．”可以说，分析、代数、几何与拓扑中数学思想方法的交融是泛函分析得以发展壮大的力量之源．
首先，集合论是泛函分析形成的基础．当19世纪在分析中建立严密性成为必然趋势时，数学家们不得不面对有关无穷集合的许多问题．尤其是在对不连续函数研究时，需要考虑使函数不连续或者使收敛问题困难的点集，由此导致了集合论的建立．在这个过程中，贡献最大的是德国数学家康托尔（Georg Cantor, 1845—1918年）的工作．他在研究函数的三角级数表达式唯一性问题时开始接触无穷点[4]集，认识到建立集合论重要的是把数的概念从有穷数推广到无穷数，在德国数学家狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet,1805—1859年）和黎曼（Bernhard Riemann,1826—1866年）等人工作的基础上系统发展了一般点集理论．泛函分析是研究无穷维函数空间的学科，有了无穷点集理论，各种具体和抽象函数空间的形成才有了根基．可以说，没有无穷点集理论，就不会有泛函分析学科的诞生，甚至不会有现代分析的整座数学大厦．
其次，勒贝格积分理论是泛函分析发展的助推器．在19世纪中后期，分析学上的一个重要课题是“不连续函数的可积性问题”．通过对黎曼积分的研究发现，不仅在有限处不连续的函数是黎曼可积的，而且许多数学家们构造出了很多在无限处不连续的可积函数，这就引出了“如何衡量点集大小”的问题．在这个过程中，数学家们重新审视“实数轴”这个看似已很熟悉的研究对象，在极限思想指导下，进一步建立起完备的实数理论，如确界原理、区间套定理、柯西收敛定理等．在此基础上，取得突破进展的是法国数学家勒贝格（Henri Léon Lebesgue, 1875—1941年），他创造性地把关于集合的代数和外测度的概念结合起来，建立了勒贝格测度理论．在其论文[5]“积分、长度与面积”中，他第一次叙述了关于测度和积分的思想，建立了以测度为基础的勒贝格积分理论，他的工作替代了19世[6]纪的创造．在这个全新理论支持下，黎曼可积性的问题便迎刃而解，即黎曼可积函数是几乎处处（即除去一个零测集外）连续的．当然勒贝格积分理论可以应用到更广泛的函数空间（本书第3章和第4章中都有体现）以及级数理论等其他数学分支．虽然该理论像集合论一样在初期遭到许多数学家的强烈反对，但它在解决积分方程问题中的成功应用大大促进了泛函分析学科的诞生．事实上，没有勒贝格积分理[7]论，函数空间的研究是无法想象的．法国数学家和数学史家迪厄多内（Jean Alexandre Eugène Dieudonné,1906—1992年）也认为：“如[8]果没有勒贝格积分，泛函分析的发展进程可能会缓慢下来．”
第三，代数学为泛函分析提供了强有力的研究方法．随着18世纪行列式的广泛应用，行列式本身成为独立的研究对象，19世纪数学家们得到了更丰富的行列式理论及其相关理论，如二次型理论、矩阵理论和线性变换理论以及线性空间理论等．它们不仅为解决代数学问题提供了实用的工具，促使代数学独立，而且由此引出了一系列新领域．19世纪90年代，关于无限维矩阵的研究直接导致泛函分析的
[9]诞生．积分方程求解理论质的飞跃是积分方程的代数化，同时线性空间与集合论的结合促进了无限维函数空间的产生，线性变换及其特征值理论是算子及其谱理论的原型，而这些是泛函分析的基本研究内容．总之，代数学为泛函分析提供了强有力的方法．19世纪代数学的发展已比较系统完善，其方法较简单，操作性强，代数方法在分析学中的应用，会使分析中的问题变得简单．
第四，拓扑结构促进了泛函分析的抽象化发展．拓扑学是现代分析的抽象基础，它将分析从实数轴推广到一般空间．拓扑结构是一类重要的数学结构，为我们提供了一种对空间的邻域、极限及连续性等[10]直观概念的抽象的数学描述，它反映出一个集合各个元素间亲疏远近的关系．由于想要把康托尔的集合论和函数空间的研究统一起来，法国数学家弗雷歇（Maurice Fréchet,1878—1973年）在1906年[11]开创了抽象空间的研究，他推广了距离概念，引进了度量空间，为函数空间的统一化奠定了基础．后来，数学家们在函数空间中引入范数概念，通过范数又引入了拓扑结构．拓扑结构的引入打开了泛函分析抽象化的大门，促成了泛函分析成为一门独立的学科，推动了泛函分析学科向更高深度不断发展延伸．
20世纪二三十年代，集代数、几何、分析和拓扑的观点方法于一身的泛函分析学科创立．经过一个多世纪的发展，泛函分析已成为现代数学的一个基础学科，是现代分析数学的重要分支之一，被当今[12]科学界喻为“20世纪的微积分”，几乎每位数学家都需对它有所
[13]了解.
从其名称我们看到，泛函分析就是关于“泛函”的分析．由此可看到“泛函”在泛函分析创立之初的核心地位．实际上，泛函分析的创立确实始于“泛函”抽象概念的建立．
1887年意大利数学家沃尔泰拉（Vito Volterra,1860—1940年）在狄利克雷关于函数综合概念思想的影响下，认识到一些数值，与函数不一样，不是与某一或有限的数值相关，而是与一系列连续变化的数值相关，即与一个函数或若干函数相关，由此给出了“（线）函数的函数”——泛函的定义，并试图建立与函数微积分理论相应的一套理论，开创了“泛函”理论的研究，并得到法国数学家阿达玛（Jacques Solomon Hadamard,1865—1963年）的重视．
之后，弗雷歇受其导师阿达玛的影响在连续线性泛函表示方面做了深入研究，并使之得以传承发扬．里斯（Frigyes Riesz,1880—1956年）在发展希尔伯特（David Hilbert,1862—1943年）积分方程理论的过程中，建立起连续线性泛函表示与积分方程之间的关系．经过黑利（Eduard Helly,1884—1943年）、汉恩（Hans Hahn,1879—1934年）和巴拿赫（Stefan Banach,1892—1945年）等人的进一步抽象，提出并解决了一般赋范线性空间上连续线性泛函的存在性问题，建立起连续线性泛函的空间理论，此即为对偶空间理论．
对偶空间即为一个赋范线性空间上所有连续线性泛函构成的空间，它的出现是泛函分析中的重要事件之一．泛函分析学科的确立就以空间理论、算子谱理论和对偶空间理论的形成为标志．
对偶空间的出现，对数学学科及其他学科都有很大的推动．
直观而言，任何希尔伯特空间都有正交基，有了它，就可在希尔伯特空间中建立直角坐标系，可借用代数方法研究分析中的问题．但是一般巴拿赫空间中并不能保证正交基的存在，也就无法建立坐标系，关于这个空间的研究就会变得很复杂，因为很难将几何问题转化[14]成代数问题从而借助代数方法处理．一个巴拿赫空间上全体连续线性泛函组成的空间（即对偶空间）实际上充当了坐标的角色，由此不难理解对偶空间的重要性．[15]
数学史上，对偶空间一词经历了polarer Raum、transponierter [16][17][18]Raum、espace conjugué、adjoint space等名称的变迁．1938[19]年布尔巴基提出dual space，该词被多数数学家接受至今．
由其名称演变可看出对偶空间的双重性，即它不仅是一个巴拿赫空间，而且因为其是某一空间上连续线性泛函构成的空间而具有超越一般巴拿赫空间基本属性的特有性质，如对偶空间中的弱*紧定理．这种双重性使得对偶空间理论不仅在其形成之初在积分方程和线性方程组求解问题中起到重要作用，如里斯等人通过对偶空间定义积分算子的对偶算子，而且在形成之后促进了对原空间性质的研究．特别是*在之后泛函分析的进一步发展中，通过对巴拿赫代数，C代数在其对偶空间单位球上的表示，不仅促进了对这类代数的深刻认识，而且通过这种表示促进了对自伴算子、正规算子等特殊算子谱理论的深入研究．
同时，对偶空间在应用数学领域和其他领域应用广泛，为其他学科提供了理论依据和技术支持．微分几何中切空间的概念与泛函分析[20]中对偶空间的概念有密切联系．小波分析理论中，可利用对偶空间研究小波空间结构，如对双正交小波与多分辨分析的研究，得出了许多有价值的结论．在遥感领域，可通过投影变换，分别将直线的灰度级标准差及其边缘梯度矢量均值映射到相应的对偶空间，进而在对偶空间上根据直线的标准差和边缘梯度矢量的峰谷分布规律检测道路[21]目标．在理论力学中，量子矩阵力学和波动力学建立后，海森堡学派和薛定谔学派起初都难以容忍对方的理论，但薛定谔（Erwin Schrödinger,1887—1961年）后来证明，虽然矩阵力学与波动力学出发点不同，形式也完全相异，但二者可导出同样的结果，两者在物理[22]上完全等价．其实就是因为它们各自一切可能的状态构成一个希尔伯特空间，而这两个希尔伯特空间互为对偶空间．还有，在计算机通信技术领域，在物理空间和信息空间之间实现人机交互的原理就依赖于它们间存在的对偶关系，从而可利用对偶空间将问题转化．又如，在经济学中，美籍匈牙利数学家冯·诺依曼（John von Neumann,1903—1957年）于1947年将对偶的思想引入经济学，在经济学中提出并创立了对偶理论，主要研究经济学中的相互确定关系，如经济学中典型的产出与成本的对偶、效用与支出的对偶等，为经济学的研究提供了全新而强有力的技术支持．当然，对偶空间的思想还体现在其他许多方面．
由上分析可知，对偶空间理论是泛函分析的重要内容之一，在理论与应用中都有重要作用，研究对偶空间理论的创立及思想演变，无论是从数学史角度还是从科学史角度，都有重要的理论价值及现实意义．1.2 问题提出
对偶空间理论是泛函分析史乃至数学史上的一段精彩篇章，对其历史的探讨在目前有关泛函分析各方面历史研究的著述中都有所涉及，下面我们分类举例说明．
第一类，有关泛函分析历史专著中对对偶空间理论的研究．
荷兰乌得勒支大学数学教授莫纳（A.F.Monna）1973年出版的[23]《历史观点下的泛函分析》一书是数学史上第一本描述泛函分析发展历史的著作，作者用四章的篇幅简要描绘了泛函分析的发展历史．它的目的有两个：一是概括发展；二是突出被忽略的一些先驱者的工[24]作．第一章从无穷线性方程组、积分方程、矩量问题、希尔伯特与黑利和里斯工作的补充说明、公理化以及算子理论这几方面概括了泛函分析的发展；第二章主要通过捷克数学家波尔查诺（Bernard Bolzano, 1781—1848年）、法国数学家拉盖尔（Edmond Nicolas Laguerre,1834—1886年）、德国数学家格拉斯曼（Hermann Gunther Grassmann,1809—1877年）和意大利数学家皮亚诺（Giuseppe Peano,1858—1932年）的观点说明线性空间概念的发展；第三章对意大利学派和法国学派有关一般分析的工作做了述评，意大利学派主要讨论了平凯莱（Pincherle Salvatore,1853—1936年）的工作，法国学派简要介绍了波莱尔（Emile Borel,1871—1956年）和弗雷歇的工作；第四章讨论了现代泛函分析中有影响力的一些主题，如维尔斯特拉斯定理、巴拿赫代数、哈尔测度、函数的产生、非阿基米德分析、经典问题及泛函分析中的基本定理等．
布尔巴基学派创始人之一法国数学家和数学史家迪厄多内的《泛[25]函分析史》一书“以翔实的材料详细探讨了泛函分析的历史和发展，以拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange,1736—1813年）和丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoull,1700—1782年）的工作为开端，通过20世纪前期弗雷德霍姆（Ivar Fredholm,1866—1927年）、希尔伯特和里斯[26]的思想传承，一直到20世纪60年代结束．”
该书共九章，包括线性微分方程和斯图姆-刘维尔问题、“密码”方程、振动弦方程、无穷的思想、希尔伯特空间的重要发展时期和定义、对偶和赋范空间的定义、1900年之后的谱理论、局部凸空间和分布理论，以及泛函分析在微分和偏微分方程中的应用等内容．前三章可以视为泛函分析的前史．该书系统地介绍了如何从求解方程问题到希尔伯特空间、赋范线性空间和谱理论的形成，在此基础上进一步探讨了分布理论，最后探讨这些抽象理论的具体应用，其中直接涉及对偶空间理论的是第六章，第一节给出了阿达玛、弗雷歇和里斯的相pp关连续线性泛函表示的结果，第二节简要陈述了里斯关于L和l空间p的工作，并探讨了L和的对偶，第三节介绍赋范线性空间和泛函延拓定理的诞生，第四节介绍“驼峰”和“贝尔纲”方法．
德国耶拿弗里德里希·席勒大学数学史家皮特施（Albrecht [27]Pietsch,1934—）的《巴拿赫空间和线性算子理论历史》是一本有关巴拿赫空间和线性算子理论的历史巨著，洋洋洒洒，共877页．作者在序言中就说，莫纳的《历史观点下的泛函分析》和迪厄多内的《泛函分析史》主要致力于介绍20世纪50年代前的泛函分析，而他愿意冒险去探索整个泛函分析的发展史，也考虑了20世纪50年代后泛函分析的发展．作者1958年获得硕士学位时，正是巴拿赫空间理论鼎盛之时，经历了50年代后期泛函分析的发展历程，有机会收集详细材料，从而给他的研究提供了便利．作者使用集合论、拓扑、代数、组合数学、概率理论和逻辑等工具，从整体的角度将巴拿赫空间作为数学的一部分，而不是作为孤立的学科来呈现．作者认为从科学的观点而言，重要的不是“谁证明了这个定理”，而是“为什么以及如何证明一个定理”．因此这本书“以数学的历史”而非“数学家的历史”呈现内容，由于作者涉及的历史事件数量众多，时间跨度大，不能详尽描述每一历史事件的产生发展及各个数学家之间的思想传承，但也给我们提供了一定的研究线索和空间．
以上这几本著作或多或少都涉及了相关数学家的研究工作，如希pq尔伯特、里斯和黑利的工作，且都提到了里斯的L空间与L空间的对偶工作．
第二类，与泛函分析史相关的专题论文中对于对偶空间理论的研究．
在此列举一些有代表性的。
贝恩科普夫（Michael Bernkopf）的“以积分方程为起源的函数[28]空间的发展”这篇文章从积分方程理论角度探讨函数空间的发[29]展，是一种百科全书式的描述，共五章．第一章从代数和分析两方面探讨函数空间思想的萌芽；第二章讨论希尔伯特的积分方程和无限二次型理论；第三章介绍弗雷歇有关抽象度量空间的工作；第四章探讨希尔伯特之后函数空间理论的发展，如美国数学家摩尔（Eliakim Hastings Moore,1862—1932年）的工作、德国数学家施密特（Erhard Schmidt, 1876—1959年）在希尔伯特序列空间引入几何p结构、里斯-费舍尔定理的发现、里斯引入L空间、希尔伯特空间的公理化等工作；第五章讨论关于巴拿赫空间及其对偶空间的发现，主要有除巴拿赫以外的其他数学家对巴拿赫空间的研究、巴拿赫创立巴拿赫空间、对偶空间的发现．
哈佛大学数学系教授伯克霍夫（Garrett Birkhoff,1911—1996年）[30]的“泛函分析的创立”一文列举了泛函分析发展史上的重要事件，并简要概述了一些重要数学家的工作，如意大利学派的一些先驱工作、希尔伯特和里斯的积分方程工作、“泛函分析”一词出现后该学科的发展情况．[31]“泛函分析简史”一文通过概述泛函分析发展史上一些具体而重要的历史事件来概括泛函分析学科的发展，文中简要提到了里斯关于平方可积函数空间的工作，黑利、汉恩和巴拿赫的赋范线性空间工作．[32]“泛函分析的起源和早期历史”一文首先介绍18世纪和19世纪由于常微分方程和偏微分方程的研究促进了函数概念和极限概念的发展；其次详细介绍了积分方程理论的发展，在此基础上研究弗雷德霍姆的积分方程理论和希尔伯特的积分方程工作与谱理论；最后探讨空间概念的发展和紧算子理论的形成．这篇文章通过较长篇幅从空间和算子的角度探讨泛函分析学科1918年之前的发展．[33]“里斯表示定理的形成”一文以很长的篇幅讨论C[a,b]上连续线性泛函表示定理的形成历史，作者认为表示定理的出现统一了长期以来函数中存在的“综合”观点和“解析”观点的矛盾．详细介绍了沃尔泰拉的泛函思想、阿达玛和里斯关于C[a,b]上的泛函表示工作．
还有一些专门讨论某一数学家历史贡献的论文，如“莫里斯·弗[34][35]雷歇的研究”和“作为泛函分析先驱的里斯”等，它们对弗雷歇和里斯个人的数学工作进行研究，对他们在连续线性泛函表示方面的工作有所陈述．
第三类，泛函分析史的学位论文中有关对偶空间理论的研究．[36]“20世纪50年代前泛函分析历史研究”一文对泛函分析发展过程中的主要数学家及主要事件做了概述，并简要介绍了泛函分析在中[37]国的发展．“里斯在泛函分析中的两个重要定理”一文讨论了里斯-费舍尔定理和里斯表示定理的形成．“弗雷歇对泛函分析及一般[38]拓扑所做的贡献”一文讨论了弗雷歇在泛函表示和度量空间方面[39]的工作．“里斯对泛函分析的贡献”一文概述了里斯在泛函分析p创始期和独立发展期的贡献，文中讨论了里斯关于L空间的对偶工[40]作．“希尔伯特的积分方程理论”和“积分方程之巴拿赫空间理[41]论的研究”分别探讨了希尔伯特的特征值理论和巴拿赫空间理论pq的形成，且文中都提及了L空间与L空间的对偶．
第四类，通史类的专著中关于对偶空间理论的研究．《古今数学思想》是美国数学家、数学教育家和数学史家莫里斯·克莱因（Morris Kline,1908—1992年）的著作，该书在科学界、整个学术文化界都有广泛、持久的影响．其中第44章讨论了实变函数论中勒贝格积分理论的发展，这是促进泛函分析发展的一个重要工具．第46章从泛函、算子、范数和希尔伯特空间的公理化几个角度概述了泛函分析学科的发展．该书提到“巴拿赫在1929年引进了泛函分析这一学科的另一个重要概念，这就是一个巴拿赫空间的对偶空间或[42]伴随空间”.[43]《数学史概论》在第十一章第二节简要介绍了泛函分析中一些主要基本概念的历史．如变分法中孕育的泛函概念，积分方程求解中希尔伯特空间的诞生，进而到巴拿赫空间等更一般抽象函数空间的产生．又如，对物理学中应用广泛但难以理解的“奇怪”函数的研究引[44]出广义函数概念的产生等．《近现代数学史》从泛函分析作为20世纪一个数学分支的角度出发，按时间顺序列出了泛函分析发展的三个阶段，并概括了每个阶段的发展特点．作者对里斯1907年和1910p年的工作有所论述，在第651页还提到“里斯发现，L上连续线性泛q[45]函的全体构成一个‘对偶的’空间L”.《20世纪数学思想》中描pq述了泛函分析发展的几个阶段，也提到了L空间与L空间的对偶．
综上所述，目前关于对偶空间理论历史研究的相关文献形式多样，精彩纷呈，从这些文献中或多或少都能捕捉到有关对偶空间理论历史的蛛丝马迹．整体而言，目前对在对偶空间理论形成过程中起关键作用数学家的研究成果及贡献都是比较清楚的，然而相关数学家之间的思想传承比较模糊，对数学家诸多“神来之笔”的思想方法缺乏深入探究．例如，希尔伯特为何要发展无限二次型理论？弗雷歇泛函表示思想的本质是什么？他们工作的突破之处和局限之处是什么？里qpq斯为何要引入L空间？L空间与L空间为什么对偶以及历史影响如何？追随者们又是如何继承与发展前人的思想方法和理论等一系列深层次的问题都值得去探讨．
在对泛函分析相关文献研读的过程中，我们认识到泛函的产生虽然有具体的问题背景，但其问题背景并不集中，其产生过程更加体现的是19世纪末数学家对数学“综合”认识和抽象概括的思潮，连续线性泛函只是一种特殊的对应关系，连续线性不仅是泛函所定义空间基本性质的反映，更是数学家对泛函这一新兴概念深入认识的最基本条件和出发点，对连续线性泛函进行表示是认识这类泛函的一种方式和手段，这种认识过程与数学家对函数能否表示为幂级数或傅里叶级数的认识有某种共性．而连续线性泛函的空间结构及其基本属性正是在对具体函数空间上连续线性泛函的具体表示过程中才逐渐被认识的，从而产生对偶空间的思想并逐渐形成抽象理论．
虽然研究者一致认为对偶空间理论在泛函分析中占有重要地位，但目前很多工作都侧重于泛函分析中的巴拿赫空间理论，算子谱理论或者某一重要数学家在泛函分析方面贡献的历史研究、关于对偶空间理论的一些历史研究比较分散，没有一条明晰的线索系统探讨其发展历程．
诚然，对偶空间首先是一个空间，是对偶算子的依附空间，但将其历史的研究纳入空间历史和算子历史的研究中，忽略了对偶空间的二重性，降低了对偶空间在泛函分析中的重要地位．当然，这也是由于产生对偶空间的具体问题来源并不集中的原因．如弗雷歇是受其导师阿达玛的影响，以建立类似于函数级数的表达形式为思想出发点而开展连续线性泛函表示的研究的，里斯是在研究“积分方程问题”时涉及连续线性泛函表示的工作的．另外，数学史上公认汉恩-巴拿赫泛函延拓定理的出现标志着对偶空间的形成，这是因为汉恩-巴拿赫泛函延拓定理解决了泛函存在性的基本问题，因此在现有泛函分析史涉及对偶空间的研究文献中，侧重于汉恩-巴拿赫泛函延拓定理形成历史的研究．
迪厄多内在其著名的《泛函分析史》一书中说：“如果想要用简洁的语言来概括泛函分析产生的复杂历史，那就是：谱理论和对偶理论．这两个理论都源自具体问题的求解——积[46]分方程（或线性方程组），方程中的未知量都是函数．”
可见对偶理论是泛函分析的核心理论之一．本书通过解读主要数学家的相关工作来分析他们之间的思想传承与突破，意欲勾勒出一条较为清晰的历史发展脉络，探讨对偶空间的形成以及发展，以期从对偶的角度进一步了解泛函分析的发展进程，了解对偶的观念对分析学乃至整个数学发展的影响．1.3 方法与目标
任何学科的研究都少不了方法论的指导，有关数学史研究方法论的问题，尤其是近现代数学史，在国内越来越受到一些数学史家的关[47]注．李俨、钱宝琮先生主张“发现”传统，吴文俊先生倡导“复原”传统，随着近几十年来对近现代数学发展历程的大力研究，曲安京教授还提倡数学史研究也应关注“为何做出数学”，进一步扩充了数学史研究的内容和方法．
与古典数学相比，近现代数学呈现出独有的特征，这使得对其历史的探讨提出了新的要求．
第一，随着数学的发展，近现代数学的严密性已经很强，逻辑链条有序，一般的推理过程也清晰完整，因此无须对问题的结论进行合理重建，而对于“为何会产生这样的结论”的研究将会很有意义．这不仅是历史的需要，而且是数学自身的需要．第二，近现代数学分支愈来愈多，愈来愈细，同时各个分支之间联系紧密，交叉作用，因此有必要全面透彻领悟数学家思想的来源和动机、数学家之间思想的传承以及数学理论的形成脉络．第三，近现代以来，创办了很多专业性很强的数学杂志，它们清晰地记载了数学史上的重要概念、重要理论等重大事件及其做法，使得数学知识、思想方法能广泛传播和接受．然而，数学家公开发表的论文和著作呈现给我们的是经过仔细锤炼的、成熟的、“定义-定理-证明”式的逻辑思想体系，而对于蕴含其中的概念定理算法等思想的来源、提出原因等问题不能知晓，这就需要我们在一系列的历史链条中去探索、追溯和重构，理解数学理论产生的内因和外因．只有这样，才能真正理解数学理论的产生及其发展，才能真正洞悉数学家的思想．
曲安京教授在“中国数学史研究范式的转换”一文中也提出：“数学思想始终是数学史研究所应关注的主题，在很大程度上，数学史就是数学思想史．当我们在旧的研究范式的指导下去发现、复原、回顾并欣赏历史上的各种各样丰富多彩的、具体的数学成就的时候，一个重要的方面常常会被我们所忽略，那就是，历史上为什么会[48]产生这样的数学？”
本书即在此思想指导下，在阅读大量原始文献和研究文献的基础上，利用文献分析和历史考证的研究方法，以“积分方程的求解”为主线，以“为什么数学”为方法论指导，厘清各个主要相关数学家之间的思想传承以及他们的数学思想对近现代数学的影响，探讨对偶空间理论的形成与发展脉络，且更突出对偶空间思想的产生及发展过程，为更好地理解泛函分析学科的起源、建立和成熟提供一个视角，试图为近现代数学史的研究提供一个个案．同时对这段历史的探索也可为泛函分析的教学提供历史背景，使学生理解抽象数学概念与数学理论背后的具体问题的来源，从而促进学生更深刻地理解相关的数学知识．
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19世纪是近代科学全面繁荣的世纪，人类文明在各个领域都取得了重大突破．英国物理学家和数学家麦克斯韦（James Clerk Maxwell,1831—1879年）建立了完整的电磁理论；英国化学家和物理学家道尔顿（John Dalton,1766—1844年）提出了化学原子论；德国植物学家施莱登（Matthias Jakob Schleiden 1804—1881年）阐释了生物细胞学……该世纪被称为是“科学的世纪”．与此同时，数学研究领域爆炸式扩张，伽罗瓦理论为代数学增添了活力，非欧几何对几何学产生了革命性的影响，法国数学家柯西（Augustin Louis Cauchy,1789—1857年）为分析学注入了严密性……数学活动日益高涨．19世纪的物理问题为数学研究提出了比以往任何一个世纪都多的思路和方向，由此直接或间接地产生了积分方程．但直到19世纪80年代，关于积分方程的一般理论仍被认为是“不可超越的困难”.1896年，沃尔泰拉提供了解决第二型积分方程的新方法，开创了积分方程一般理论的研究．
1900年，瑞典数学家弗雷德霍姆发表了题为“求解狄利克雷问[1]题的新方法”一文，推广了沃尔泰拉求解第二型积分方程的方法，开创了积分方程研究的新局面．该文一经发表，在数学界就产生了持久而又深远的影响，几乎一夜之间，积分方程理论成为分析学家钟爱[2]的课题之一.
在此方面的集大成者为德国数学家希尔伯特（见图2.1）．希尔伯特1880年进入哥尼斯堡大学攻读数学， 1884年取得博士学位后，留校任教．1895年转入哥廷根大学任教授，此后一直在数学之乡哥廷根生活和工作．希尔伯特在开展积分方程工作之前，已经在代数数、代数不变式和几何基础方面取得了伟大成就，其在哥廷根大学组织的讨论班吸引了众多的年轻数学家围绕在其周围．也正是在希尔伯特的领导下，哥廷根大学成为当时世界数学研究的中心．1900—1901年冬天，正是在希尔伯特的讨论班上，瑞典数学家霍尔姆格伦（Erik Albert Holmgren,1872—1943年）报告了弗雷德霍姆关于积分方程的第一篇文章．希尔伯特敏锐地意识到弗雷德霍姆积分方程工作的开创性和重要性，在哥廷根组织的讨论班上集中对积分方程问题进一步研究，于1904年至1906年间，发表了一系列积分方程方面的论文．他的积分方程工作蕴含着丰富的、之后发展起来的泛函分析学的思想，如空间思想、算子思想等，促进了泛函分析学科的建立．在希尔伯特的推动下，积分方程理论成为20世纪前期的一大研究热门，[3]直接促使泛函分析的产生与发展．也正因为希尔伯特在积分方程方面的卓越功绩，他被认为是泛函分析理论的奠基人之一．泛函分析中的对偶空间思想即孕育在希尔伯特的积分方程相关工作中，本章我们主要分析他的与对偶空间思想密切相关的三篇论文来挖掘这一思想．图2.1 希尔伯特2.1 希尔伯特在有限线性方程组解理论中的对偶思想2.1.1 有限线性方程组解理论历史的简单回顾
在1900年之前，有限线性方程组的解理论已比较完善，并且与矩阵、行列式、二次型等理论独立而又相互依赖地发展着．
瑞士数学家克莱姆（Gabriel Cramer,1704—1752年）在1750年[4]出版的《线性代数分析导言》中，给出了现在以其名字命名的求解方程和未知数个数相同的且系数行列式不为零的线性方程组存在唯一解的法则——克莱姆法则．
19世纪初，德国数学家高斯（Johann Carl Friedrich Gauss,1777—1855年）在线性方程组中引入现称之为“高斯消元法”的一种系[5]统的求解程序，由此产生了矩阵的思想．高斯是近代数学的奠基者之一，是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”的美誉．高斯的这些思想在18世纪50年代被英国数学家西尔维斯特（James Joseph Sylvester,1814—1897年）、凯莱（Arthur Cayley,1821—1895年）和德国数学家弗罗贝尼乌斯（Ferdinand Georg Frobenius,1849—1917年）系统发展，创立了矩阵及其特征值理论，而对称矩阵、正交矩阵及其相应特征值的刻画已为当时的数学家所熟知．在此期间，矩阵理论与二次型理论交叉发展，人们已经认识到，一个二次型
对应一个对称矩阵-1
当U是实矩阵时，存在可逆实矩阵P使得PUP是一个实对角矩12n阵，这就等价于寻找变量x,x,…,x的正交变换，使得二次型
等价于-1j
式中λ是对角矩阵PUP中的对角元，或者说是U的特征根．由此建立起线性方程组根的求解与相应矩阵变换之间的关系．2.1.2 希尔伯特对有限线性方程组解理论的升华
在“求解狄利克雷问题的新方法”一文中，弗雷德霍姆求解第二型积分方程的方法是n等分区间[a,b]，利用黎曼和，将积分方程（式中K是[a,b]×[a,b]上有界且逐段连续的函数，f是[a,b]上的连续函数，λ是一个复参数）转化为任意有限线性方程组
式中,1≤j≤n.
进而他通过无限行列式理论给出了这类方程的解理论．
希尔伯特在1904年发表了其有关积分方程工作的第一篇文章[6]“线性积分方程的一般理论”，他的首要工作就是深化有限线性方程组的解理论，将隐含于弗雷德霍姆积分方程工作中的思想进一步明确化，其中所蕴含的深刻思想是其无限二次型理论和积分方程工作的基础．对这部分工作的详细解读将有助于我们更好地理解其中所孕育的对偶思想．
在式（2-1-2）中，不妨设a=0,b=1．令
则该式转化为
作为20世纪一位著名的领头数学家，希尔伯特考虑问题的方式新颖而独特，他的创新之处在于，并没有按照前人求解有限线性方程组的方法求解方程组（2-1-3），而是给出了一种更一般的方法．下面我们对这一过程进行还原．
希尔伯特引入（内积）记号12n12n
式中x=(x,x,…,x),y=(y,y,…,y)，将n个未知数视为一个向量整n体，从而将方程组（2-1-3）视为n维实欧氏空间R上的向量方程，这样就将求n个未知数的问题转化为求一个未知向量的问题．
通过内积作用，方程组（2-1-3）等价转化为
式中，.12n
由此，φ是方程组（2-1-3）的解当且仅当对任意x=(x,x,…,x)，式（2-1-4）成立．
令
则当d(μ)≠0时，由克莱姆法则得到方程组（2-1-3）解的唯一形式：12n
由此，对任意x=（x,x,…,x），
因此，希尔伯特引入记号
在d(μ)≠0时，希尔伯特给出了方程组（2-1-3）解φ的一种等价形式
该形式将方程组（2-1-3）的n个解视为一个整体向量，通过引入（内积）记号，使向量成对作用，给出了克莱姆法则的创新解释．内积可以帮助人们从几何的观点来研究函数空间，这一从整体上成对作用给出解的等价形式的方法，在从有限向无限过渡时起关键作用．
实际上，在弗雷德霍姆的文章“求解狄利克雷问题的新方法”中，也出现了记号D(μ,x,y)，但他只是给出了这一形式的巧妙应用，其来源却无从探究．
本质上，方程组（2-1-3）是一个求点的问题，希尔伯特将其等价转化为式（2-1-4），而式（2-1-4）是一个关于变量x的恒等式，对应的是一条线的解析表达式．因此希尔伯特实际上将点的存在性问题转化为线的存在性问题，这一思想与19世纪初射影几何中“点”与[7]“线”的对偶思想非常相似，标志着泛函分析中对偶思想的萌芽．
接下来，希尔伯特考虑了d(μ)=0的情形．
为了更好地讨论方程组（2-1-3）解的结构，他加入限制条件：K是对称函数，即K(s,t)=K(t,s)．这时对应方程组（2-1-3）的矩阵j,kK=(K)是实对称矩阵．12n
设μ,μ,…,μ是K的n个互不相同的特征根，由已有的矩阵理论，这n个特征根分别对应n个互不相同的特征向量，即是方程组（2-1-3）相对应的齐次方程组k
的解．那么对于特征根μ以及相应的特征向量，能否建立与式（2-1-5）相应的等式呢？12
通过进一步分析，希尔伯特得到：对任意x=（x,x,n12n…,x）,y=（y,y,…,y），有
将视为关于μ的有理函数，利用有理函数的部分分解法则，得到的分解形式
并称为Κ的预解式．
在以上对有限线性方程组解理论重新阐释的基础上，与弗雷德霍姆从有限过渡到无限的思想相同，希尔伯特也通过“极限过渡”，结合无限行列式理论，得到关于积分方程（2-1-1）平行于有限线性方程组（2-1-3）的式（2-1-5）和式（2-1-8）的结论．
为了更好地在后续章节分析并比较希尔伯特关于积分方程（2-1-1）求解过程前后思想的本质不同，我们先还原其在这篇文章“极限过渡”思想中的一种简单情形，即类似于有限线性方程组行列式不为零从而得到平行于式（2-1-5）结论的情形．
对于积分方程（2-1-1），利用黎曼积分和转化为有限线性方程组（2-1-2），不失一般性，令a=0,b=1，又转化为方程组（2-1-3），此时方程组（2-1-3）的系数行列式为d(μ)，其中.
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]