作者：蔡小雄
出版社：浙江大学出版社
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更高更妙的高中数学思想与方法(第七版)试读：
前言
在学生群体中，大多数学生的学习水平比较接近，但也有些“与众不同”、“出类拔萃”的学生（以下将这些学生统称为资优生），这是一本送给资优生的书．
笔者在杭州市第二中学（以下简称杭二中）有幸连续多年担任重点班的数学教师与班主任，这批学生大多是浙江省各个地区应届初中生中的佼佼者，他们有浓厚的学习兴趣、超常的学习能力、顽强的学习毅力、勇于创新的精神，与一般学生相比，在学习基础、学习能力上存在得天独厚的优势．面对这一特殊的群体，现有的教材肯定无法满足其强烈的求知欲，传统的教法也已不利于其主动探究，不能适应其超常发展．“伯乐相马”故事里所描述的千里马，其习性与众不同，跑得快，但食量大，如果按照普通马的食量喂养，它可能连普通马的能力都发挥不出来．但如果给予特殊的照顾，它能够日行千里．
资优生对书本上的基础知识的掌握基本上是过关的，教师更应该注重培养学生的思维，特别是培养学生思维的深刻性和独创性，要求学生能深入思考问题，善于概括归类，善于抓住事物的本质和规律，不唯上、不唯书，善于独立思考，勇于标新求异．因此，为了资优生，为了让更多的学生掌握一些“更高更妙”的数学思想与方法，从而成为资优生，笔者结合多年的教学实践精心编写了这本书．
数学教育不仅是知识的传授，能力的培养，更是一种文化的熏陶，素质的培养．因此，在本书的创意过程中，笔者力求形成的“亮点”有：
1．高屋建瓴——重视数学思想的渗透
在数学学习中，单纯靠题海战术盲目操练是很难获得理想成绩的，我们必须将自己置身于解题的更高境界．高中数学学习的更高境界主要是指运用数学思想武装自己，并有效地指导解题．数学《考试大纲》中指出，数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想则是数学意识，只能领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．
2．独辟蹊径——将数学竞赛与高考及自主招生有机结合起来
高考数学命题遵循考试大纲和教学大纲，体现“基础知识全面考，主干内容重点考，热点知识反复考，冷门知识有时考”的命题原则．从解答策略上来说，高考一般淡化解题中的特殊技巧，比较注重在解题的通性通法上精心设计．但是认真分析近几年的高考试题，尤其是压轴题，我们不难发现，有很多问题又很难用“通性通法”顺利解决．因此，在平时学习中，对于学有余力的同学来说，有必要适当掌握一些竞赛的方法或技巧，只有这样，才能真正在高考中做到处变不惊，游刃有余．
3．一网打尽——收集、整理、参考了近五年所有的高考原题及自主招生试题
对近五年来高考试卷及全国各重点中学最后一次模拟考试中出现的压轴题进行了系统整理，精选其中最典型的问题，从背景、方法与拓展等方面认真分析．另外，书中也收集了笔者参加浙江省会考命题、浙江省数学竞赛夏令营命题、杭州市统测命题时编写的习题资料．
4．来源实践——所有材料均经过杭二中等学校优秀学生认真检验
本书大多数内容是在原浙江省理科创新实验班课堂实践的基础上发展与完善的．值得一提的是，笔者曾将书中内容向杭二中2003届、2006届、2009届及2012届重点班学生推荐为高考复习专题资料，取得较好成效．2006届全班有50％的同学考取清华、北大，其中卢毅同学为浙江省高考理科第一名．2012届理科有9位同学高考总分进入全省前50名，9位同学保送清华、北大．因此，这本书可以直接供高三学生以及高一、高二的优秀学生提高数学素质所用．
2013年6月，我对原书进行了修订，为了提高质量，增加亮点，我特约了杭州、湖州地区的四位优秀教师李太新、黄超、江战明与陈发志，一起对第二章的“数形结合思想”“分类讨论思想”进行了修订，对第三章的“解析几何综合问题”进行了调整与补充，并在第四章增加了“引参换元”“分离参数”“参数方程”及“运用曲线系方程”等内容。
2013年6月，小儿蔡天乐初中毕业进入杭二中就读，此前他已自学完高中数学所有内容，因此，当他让我推荐一本高中数学“难一点”“有味道点”的书时，我毫不犹豫地推荐了这本凝聚我多年教学心血的书——《更高更妙的高中数学思想与方法》（以下简称《高妙》），并要求他从读者的视角，边看边做边找问题，争取提出修改意见，对于好的建议，我将采纳一处奖励一处。没想到，短短一个月时间，他提出了数十条建议，有的是“更妙”的解法，有的是“更高”的立意，也有的是印刷上的一些问题。种种发现与建议，让我耳目一新，让我激动不已，也让我更加坚定了不断完善这本书的信念。
2014年6月高考结束后的短短几天里，我陆续收到了若干信息和邮件，同行与学生的鼓励与关注让我一直沉浸在幸福与感动中。
一是浙江省内一位重点中学教毕业班的数学教师发来的信息，他告诉我，他的学生用了本书，很有收获，因为2014年高考浙江试卷中有几道试题与书中的试题类似，如理科第16题、文科第17题与本书第五版第179页例2第（2）小题类似，文科第16题与本书第五版第35页例27类似，理科第21题如果运用本书第五版第303页第95条结论解答将更简捷。
二是江苏的一位学生发来的邮件，他是这样写的：“蔡老师，我是江苏的一名普通学生，在2013年暑假期间曾给您发邮件询问贵书中的几处疑点。我在今年参加了高考，取得了满意的成绩。我的总分为411分（满分480分，其中数学学科分数为183分（总分200分）），位列江苏省第31名、盐城市第4名，目前已经初步和清华大学达成入学协议。感谢您对我的指导和期望，我一定在将来的生活中不辜负您对我的期望，继续努力、再攀新峰。”
三是湖州德清县高级中学一位叫柴泽雨的高三学生发来的信息，后来我们通过几次电话，感觉到这是一位很有想法、很肯钻研的“学霸”型好学生。他认真阅读了本书并做了本书中的习题，指出了书中两处印刷错误，另外提供了20道他在复习备考中遇到的、仔细研究过且很有“味道”的好题。我认真看了之后，选择了其中的6道充实到相应的章节中。
2015年有几件事值得回味。一是小儿8月份获得第十一届中国东南数学竞赛金牌（全国第三名），9月份获得全国数学联赛一等奖，是省内少数几个高二获一等奖的学生，当我向他表示祝贺时，他半开玩笑地说是《高妙》给他打下了扎实的高中数学基础；二是我获得了第十届“苏步青数学教育奖”，从李大潜院士手中接过奖牌的那一刻，感触良多，幸福、自豪及对美好教育未来的憧憬交织在一起；三是接到内蒙古包头市一位教师的电话，他说他是《高妙》这本书的忠实读者，从书中收获很多，希望与我加强联系，连着两天他在电话里与我进行了长时间的探讨，那份执着与认真令我感动；四是浙江省教育厅组织成立了“蔡小雄名师工作室”，成立短短两个月来，有223位教师主动加入其中，有国际金牌教练，有全国优质课一等奖获得者，有省教坛新秀，有各地区的名师、骨干，大家积极参加活动，共同探讨教学中的问题，高考前组织的猜题活动效果显著，有两道数列不等式问题与浙江高考理科压轴题“神似”……
应浙江大学出版社邀请，2015年高考后，我又对《高妙》进行了认真的修订，补充完善了“3.3.3 数列不等式”部分的内容，“3.2 导数综合问题”增加了“三次函数的性质”，“1.4.1 临界法则”增加了两道例题，“1.4.3 临界方法”增加了“拉格朗日数乘法”，第四章增加了“4.2.5 借助导数放缩”，另外，修订了原书中的一些印刷错误，替换补充了二十几道“好题”“妙解”。
本书的出版得到许多好朋友的支持与帮助，他们大多是高考命题专家及奋战在中学一线的名师、学科带头人，也得到浙江大学数学系多位教授的指导，在此一并表示感谢．
由于个人学识浅薄，虽然出书后不久我们进行了多次修订，但书中可能还会有不当之处，敬请专家、读者不吝指正．衷心希望这本书能让同学们“如虎添翼”，在数学的海洋里劈波斩浪，勇往直前！蔡小雄2015年8月第七次修订于杭州第一章更高更妙的数学解题策略
深化能力立意，突出能力与素质的考查始终是高考数学命题的导向与主题．数学《考试大纲》明确要求：“在考试中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题时，要注重问题的多样化，体现思维的发散性；精心设计考查数学主体内容、体现数学素质的试题；也要有反映数、形运动变化的试题以及研究型、探索型、开放型等类型的试题”．综观近几年高考的数学试卷，我们也可以发现这样一个共同的特征：每份试卷在保证一定量的基础题的同时，也加大了能力题的考查．笔者认为，这也将成为今后命题的一大趋势，因为如此设计的优势在于可以让大部分学生获得基础分数，保证全省高考平均分达到一定的标准，又可满足部分优秀学生“英雄有用武之地”，冲击高分，脱颖而出．因此，要冲击一流大学，必须搞定能力题．
关于能力题似乎没有一个标准的定义，一般认为，一份试卷中最后两题就是能力题，有时也称把关题、综合题．从高考试卷分布来看，能力题一般占全卷总分值的五分之一．
能力题往往具有知识容量大、能力要求高等特点，它能够综合考查数学知识、数学思想与数学方法．对考生灵活运用所学知识解决实际问题的能力以及创新能力的要求较高．因此，解高考能力题没有一种“放之四海而皆准”的统一方法．但即使这样，我们还是可以从把握热点、突破难点、夯实基础、消除思维定式与适当延伸拓展等方面对其进行研究，从而掌握解决策略，增强应试信心．1.1 夯实基础知识，争取“拾级而上”
夯实基础知识，掌握基本方法是解决能力题的前提．但夯实基础并不意味着搞题海战术．有人认为，数学教学最简单的方法是把大量的复习资料抛给学生，让学生在解题中自我领悟，教师只需评判结果，对对答案．笔者认为这是一种不负责任的教法，实践也证明了这是一种收效甚微的低水平的教学，是应该摒弃的．
2003年的高考数学被认为是十几年来综合题最多、最难的．然而，笔者的一位女学生却考了满分（当年全省仅有三位同学获得高考数学满分）．她在高三复习时并没有做大量的课外习题，而是非常认真地拿起教材，逐字逐句地阅读，一道一道地解决书本上的题目．这种学习方法值得我们深思与借鉴．因为很多时候，我们是“只在此山中，云深不知处”．
另外，复习中我们发现很多同学数学成绩徘徊不前的一个重要原因就是“急功近利”，不能沉下心来认真研读教材，从教材中明了数学概念，领会数学思想，掌握数学方法．
事实上，即使是高考试题中的能力题也不是空中楼阁，命题者往往会“心太软”，特意设计一些“梯子”，只要熟练掌握教材内容，熟悉常用方法，解答时就可“拾级而上”，甚至渐入佳境，直捣黄龙．
2013年浙江省高考理科第16题被认为是全卷得分率最低的一道题．很多考生不知从何入手，真的有那么难吗？事实上，只要准确把握问题本质，就可以从不同角度得到多种解法．【例1】 在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若，则sin∠BAC＝_____．
解法一 建立如图1-1-1所示的直角坐标系．图1-1-1
设A（a，0），B（0，2），M（0，1），
解法二 如图1-1-2，过点B作BD⊥AM交AM延长线于点D，图1-1-2
令BD＝1，BM＝x，AC＝y（x＞0，y＞0）．
因为，所以AB＝3，
由△BDM∽△ACM知，
又因为在Rt△ABC中，可得，两式消去y，
得，可解得．
解法三 如图1-1-3，记∠BAC＝α，∠BAM＝β，图1-1-3
由得
同理，由化简可得，
将上两式相加得sin（2α-β）＝1，注意到α，β的范围，可得，
所以．
由此解得．
解法四 如图1-1-4，过点M作MD⊥AB交AB于D点，图1-1-4
令MD＝1，则AM＝3，．
又令CM＝MB＝x，则．
因为，
所以．
所以．
另解 ．
解法五 如图1-1-5，过B作BD⊥AB交AM的延长线于D点，令BD＝1，则AD＝3．设BM＝x，AM＝y．图1-1-5
所以在△BDM中，由正弦定理知
又因为在Rt△ACM中，，
代入①式，得．
所以．
解法六 如图1-1-6，设AM＝1，sin∠CAM＝k（0＜k＜1），
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]