作者：黄纪军,戴晴,等
出版社：电子工业出版社
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电子测量技术试读：
前言
根据“学历教育合训”教学计划和课程标准的要求，把“电子测量技术”和“微波测量技术”两门课程的主要内容合成一门课程，参考的教学学时为40学时。本书适用于电子信息类的电子工程、信息工程、通信工程等专业，作为专业基础课程教材。
本书的主要内容是电子测量的基本原理和方法，共分10章。第1章绪论，介绍了测量、计量、电子测量的基本概念，以及电子测量仪器的分类、技术指标和发展等内容。第2章测量误差理论和数据处理，介绍了测量误差的来源、误差的分类、误差的分析方法，以及测量数据的处理方法等内容。第3章信号发生器，介绍了测量信号源的分类、技术指标，以及低频信号源和微波信号源的组成原理。第4章信号频率测量，介绍了频率测量的特点和基本方法、频率标准、电子计数器和微波频率测量的基本方法。第5章信号波形测量，介绍了电子示波器的分类和技术指标、波形显示原理、通用示波器、取样示波器、数字存储示波器，以及示波器的基本测试技术等内容。第6章频谱测量，介绍了频谱仪分类，频谱测量的基本理论，以及频谱测量的基本应用等。第7章信号幅度和功率测量，介绍了低频电压和微波功率的测量方法。第8章阻抗与网络参数的测量，介绍了阻抗与网络参数的表征方法，低频阻抗的测量原理、微波网络参数的测量原理，以及微波网络分析仪的基本应用等。第9章噪声测量，介绍了噪声的统计特性与测量方法、噪声系数的概念，以及噪声系数的基本测量方法。第10章数据域测量，介绍了数据域测量的基本理论、逻辑分析仪的基本原理，以及数据域测量的基本方法等。
现有的关于电子测量的教材种类繁多，其中不乏优秀教材，但绝大多数教材的内容都集中在低频的电子测量上，而对于电子测量的重要组成部分——微波测量着墨较少，而微波测量随着电子科技的发展在电子测量有着越来越重要的作用，且微波测量与低频的电子测量的基本理论是一致的，因此本书努力将上述两者内容融为一体。
本书引用了期刊资料和同行们的部分科研成果，除在参考文献列出外，在此向这些书刊资料的作者和科研成果的同行们致以深深的感谢。
使用本教材时应加强实践环节，需要开设相应的实验课程，以使理论联系实际。
本书第1、5、8章由黄纪军编写，第4、7章由戴晴编写，第2、9、10章由李高升编写，第3、6章由朱畅编写，黄纪军负责统稿全书。感谢毛钧杰教授和刘克诚教授审阅了全书，并提出了宝贵的修改意见。
由于编者水平有限，错漏之处，恳请广大读者批评指正。
编者
2008年8月第1章 绪论1.1 测量的基本概念1.1.1 测量的意义
测量是通过实验方法对客观事物取得定量数据的过程，是人类认识和改造世界的一种重要手段。人们首先要通过大量的观察和测量，形成对世界的定性和定量认识，归纳和总结出各种定理和定律，然后又要通过测量来验证这些定理和定律是否符合实际情况，如此反复实践，才逐步认识世界的客观规律。因此有人说，没有望远镜就没有天文学，没有显微镜就没有细胞学，没有指南针就没有航海事业。科学的进步和发展离不开测量，离开测量就不会有真正的科学。所以，门捷列夫在论述测量的意义时说过一句名言：“没有测量，就没有科学。”当然，新的科学理论又往往成为新的测量方法和手段，推进测量技术的发展并诞生新型的测量仪器。例如，光电效应的发现促进了遥感遥测技术的发展，压电效应的发现为一些非电参量的测量提供了新的途径。
在现代化的工业生产中，同样处处离不开测量。测量是精细加工和生产过程自动化的基础，没有测量也就没有现代化的制造业。在产品设计和生产过程中，为了检查、监督、控制生产过程和产品质量，必须对生产过程中的各道工序和产品的各种参数进行测量，以便进行在线实时监控。生产水平越是高度发达，测量的规模就越大，需要的测量技术与测量仪器也越先进。例如，在大规模集成电路的生产成本中，测量成本已超过总成本50%。因此，提高测量水平，降低测量成本，对国民经济各个领域的发展都是至关重要的。事实上，测量水平的高低可以反映出一个国家科学技术发展的状况。因此，努力提高测量水平，实现测量手段和方法的现代化，是实现科学技术和生产现代化的重要条件和明显标志。
在当今信息时代，测量技术（信息获取）与通信技术（信息传递）和计算机技术（信息处理）一起，被称为信息社会的三大支柱。可见，测量技术是一门很重要的科学技术。1.1.2 测量的定义
测量是为了确定被测对象的量值而进行的实验过程。在这个过程中，人们借助专门的设备，把被测对象直接或间接地与同类已知单位进行比较，取得用数值和单位共同表示的测量结果。因此，测量结果可表示为：x=｛x｝·x，其中x为测量结果，{x}为测量数值，x为测00量单位。
测量的基本原理是通过比较来识别被测对象，因此测量就是比较。比较可采用直接或间接的方法进行，比较通常需要用专门的设备（测量仪器）才能实现。图1.1示出了人们熟悉的两个测量仪器的例子：天平和弹簧秤。对天平来说，测量过程非常简单，将未知质量的物体放在天平的右边，质量标准放在天平的左边，直到两边平衡，未知物体的质量就可通过对已知质量的计算来得到，这就是直接比较。对弹簧秤来讲，已知量和未知量的比较过程则不那么明显，标准并不是与被测物体放在仪器的相同位置，而我们只是根据弹簧秤的读数来测量未知物的质量，这就要求弹簧秤在测量前，在工厂或专用实验室已经校准好了，也就是说弹簧秤的读数值和标准质量已经比较过了。图1.1 测量的比较原理
以上确定被测物理量量值的过程通常被称为狭义的测量。广义地讲，为了获取被测对象的信息而进行的实验过程都被称为测量。在这个过程中，人们借助专门的设备去感知和处理有关的信息，取得关于被测对象的属性和量值的信息，并以便于人们利用的形式表示出来。因此，广义的测量还包括对更广泛的被测对象进行定性、定位的测量。例如故障诊断、无损探伤、遥感遥测、矿藏勘探、地震源测定、卫星定位等，且测量结果也不仅仅是由量值和单位来表征的一维信息，还可以用二维或多维的图形、图像来显示被测对象的属性特征、空间分布和拓扑结构等。1.1.3 测量的组成
从测量的定义可知，测量要有测量对象（测量的客体），测量要由人（测量主体）来实施，测量需要专门的仪器设备（硬件）做工具，测量要有理论和方法（软件）进行指导，测量总是在一个特定的环境中进行的，因此构成测量的基本要素是：被测对象、测量仪器、测量技术、测量人员和测量环境。
测量过程是测量的主体（测量人员）获取测量客体（被测对象）的量值信息的过程。在这个过程中，测量的主体（测量人员）根据测量任务的要求、被测对象的属性和特点及现有仪器设备状况，拟定合理的测量方案，选择测量仪器，组建测量系统。根据所采用的测量技术（即决定原理、方法及相应的技术措施），制定出测量策略（测量算法）和操作步骤（测量程序），对仪器和系统实施测量操作（发出控制命令），按照逻辑和时序完成测量过程，取得测量数据，分析测量误差并显示测量出结果。整个过程如图1.2所示。图1.2 测量的基本要素1.2 计量的基本概念
计量是从事测量的人员应该了解的基础知识。随着生产的发展、商品的交换，以及国际、国内的交流，客观上要求对同一量在不同的地方、用不同的测量手段测量时，所得的结果应该一致。因而出现了大家公认的统一的单位，以及体现这些单位的基准和标准，还有用这些基准和标准来校准的测量器具，并以法律形式将其固定下来，从而形成了与测量有联系而又有别于测量的新概念，这就是计量的概念。也可以说，计量是保证量值统一和准确一致的一种测量。它有三个主要特征：统一性、准确性和法制性。其内容包括计量单位及其基准，标准的建立、保存、传递、复制和使用，测量的方法和测量的准确度，计量器具及计量管理和法制等。1.2.1 计量的定义和意义
一个被测量是否可以测量，必须满足两个基本的前提条件：一是被测量必须有明确的定义；二是测量标准必须建立，并被大家公认。计量就是为了保证量值的统一和准确一致的一种测量，它是利用技术和法制手段实施的一种特殊形式的测量，即把被测量与国家计量部门作为基准或标准的同类单位量进行比较，以确定单位量合格与否，并给出具有法律效力的《检定证书》。计量具有三个主要特征：统一性、准确性和法制性。它包含了为达到统一和准确一致所进行的全部活动，如单位的统一、基准和标准的建立、进行量值传递、计量监督管理、测量方法及其手段的研究等。计量按具体内容可分为科学计量、法制计量、工程计量三个部分。
计量与测量两者之间有密切联系，但又是有区别的两个概念。测量是用被测未知量和同类已知的标准单位量比较，这时可以认为被测量的真实数值是存在的，测量误差是由测量仪器和测量方法等引起的。计量是用法定标准的已知量与同类的未知量（如受检仪器）比较，这时标准量是准确的、法定的，而认为测量误差是由受检仪器引起的。因此，测量发展的客观需要才出现了计量，测量数据的准确可靠，需要计量予以保证，计量是测量的基础和依据，没有计量，也谈不上测量。测量又是计量联系实际应用的重要途径，可以说没有测量，计量也将失去价值。计量和测量相互配合，才能在国民经济中发挥重要作用。1.2.2 单位和单位制
任何测量都要有一个统一的体现计量单位的量作为标准，这样的量被称为计量标准。计量单位是有明确物理意义和名称并令其系数为1的量，如长度的单位为1米（m），时间的单位为1秒（s），计量单位必须以严格的科学理论为依据进行定义。法定计量单位是以国家法令形式规定使用的单位，是统一计量单位制和单位量值的依据和基础。如在我国，1984年2月国务院颁布了《中华人民共和国法定计量单位》，决定我国法定计量单位以国际单位制为基础，并包括10个我国选定的非国际单位制单位。如时间（分、时、天）、质量（吨）等。
在国际单位制中，它分为基本单位、导出单位和辅助单位三种，基本单位是那些可以彼此独立地加以规定的物理量单位，共7个，如表1.1所示。由基本单位通过定义、定律及其他函数关系派生出来的单位称为导出单位，例如，力的单位牛顿（N），定义为“使质量为12千克的物体产生加速度为1米每2次方秒的力”，即N=kg·m/s。国际单位制中包括两个辅助单位，分别是平面角的单位弧度（rad）和立体角的单位球面度（sr）。由各基本单位、导出单位和辅助单位便可组成各种不同的单位制。1960年第十一届国际计量大会上正式通过国际单位制，简称SI。表1.1 国际单位制基本单位1.2.3 基准和标准
1.2.3.1 基准
基准是指用当代最先进的科学技术和工艺水平，以最高的准确度和稳定性建立起来的专门用以规定、保持和复现物理量计量单位的特殊量具或仪器装置等。根据基准的地位、性质和用途，基准通常又分为主基准、副基准和工作基准三种，也分别称作一级、二级和三级基准。
1.主基准
主基准也称作原始基准，是用来复现和保存计量单位，具有现代科学技术所能达到的最高准确度的计量器具，并经国家鉴定批准，作为统一全国计量单位量值的最高依据。因此主基准也称作国家基准。
2.副基准
通过直接或间接与国家基准比对，确定其量值并经国家鉴定批准的计量器具，它在全国作为复现计量单位的副基准，其地位仅次于国家基准，平时用来代替国家基准使用或验证国家基准的变化。
3.工作基准
经与主基准或副基准校准或比对，并经国家鉴定批准，实际用以检定下属计量标准的计量器具。它在全国作为复现计量单位的地位仅在主基准和副基准之下。设置工作基准的目的是使主基准和副基准不会因频繁使用而丧失原有的准确度。
1.2.3.2 标准
根据工作基准复现出不同等级的、便于经常使用的计量标准量具或仪器，简称标准。计量标准的准确度等级在工作基准之下，工作计量器具之上。按精度高低又分为一级标准、二级标准和三级标准。通过这些标准经常性地对日常工作仪器进行检定，确定其量值的精确度大小。除标准器具外，还有标准物质。
测量准确度的高低，与测量标准的准确度直接相关。某类物理量的最高测量准确度，不可能超过人们建立的基准的准确度，显然，测量基准是至高无上的。为了维护基准的权威性，人们以严格的科学理论为依据来定义基准，以最高的科学技术水平来实现基准器，并且国家还要经过立法来维护基准权威性。因此基准的权威性体现在：基准的理论定义是最严格的、制作工艺技术是最先进的。但随着科学的进步，技术的更新，各种测量标准总是不断变化，不断在向前发展。因此任何测量基准的精确度都是相对的，只能反映当时的科学技术水平，永远也不会有绝对的测量基准存在。纵然如此，人们仍然期望使用当时最先进最精确的测量基准去认识客观事物。如何根据一个时期的科学技术水平，去定义和确立测量基准，是计量学科学的研究课题。1.2.4 测量标准的传递
首先介绍计量的相关术语。
1.计量器具
计量器具是指复现量值或将被测量转换成可直接观测的指示值或等效信息的量具、仪器、装置。
2.计量标准器具
计量标准器具是指准确度低于计量基准，用于检定计量标准或工作计量器具的计量器具。它可按其准确度等级分类，如：1级、2级、3级、4级和5级标准砝码。标准器具按其法律地位可分为三类：
① 社会公用计量标准是指县以上地方政府计量部门建立的，作为统一本地区量值的依据，并对社会实施计量监督具有公证作用的各项计量标准。
② 部门使用的计量标准是省级以上政府有关主管部门组织建立的，统一本部门量值依据的各项计量标准。
③ 企事业单位使用的计量标准是企业、事业单位组织建立的，作为本单位量值依据的各项计量标准。
3.工作计量器具
工作计量器具是指在工作岗位上使用的，不用于进行量值传递的，直接用来测量被测对象量值的计量器具。比对在规定条件下，对相同准确度等级的同类基准、标准或工作计量器具之间的量值进行比较，其目的是考核量值的一致性。
4.比对
比对是指在规定条件下，对相同准确度等级的同类基准、标准或工作计量器具之间的量值进行比较，其目的是考核量值的一致性。
5.检定
检定是指用高一等级准确度的计量器具对低一等级的计量器具进行比较，以达到全面评定被检计量器具的计量性能是否合格的目的。一般要求计量标准的准确度为被检者的1/3到1/10。
6.校准
校准是指被校的计量器具与高一等级的计量标准相比较，以确定被校计量器具的示值误差（有时也包括确定被校计量器具的其他计量性能）的全部工作。一般而言，检定要比校准包括更广泛的内容。
7.量值的传递
量值的传递是指一个物理量单位通过各级基准、标准及相应的辅助手段准确地传递到日常工作中所使用的测量仪器、量具，以保证量值统一的全过程。
测量标准的传递是由国家基准、副基准逐级向下传递，一直传递到日常工作的各式量具和仪器如图1.3所示。检定就是测量标准传递的具体形式。测量标准传递的准则是：高一级测量标准检定低一级测量标准的精确度；同级测量标准的精确度只能通过比对来鉴别。如此一级一级地对测量标准进行检定，就能保证全国范围内测量标准都统一在国家基准的监理之下。量值传递的级数越多，到工作量具的偏差就会越大。显然，工作量具最好直接由国家最高标准检定。但是，国家如此之大，难以设想数以千万计的多种标准量具都定期由国家最高标准直接检定。所以量值传递是不可缺少的，并且大多数情况下都是自上而下逐级传递，这就需要建立一个完善的计量检定系统，以保证量值传递的准确可靠。图1.3 量值溯源体系及计量技术机构示意图1.3 电子测量的基本概念
电子测量是测量领域的主要组成部分，它泛指以电子技术为基本手段的测量技术。电子测量主要是运用电子科学的原理、方法和设备对各种电量、电信号及电路元器件的特性和参数进行测量，同时还可以通过各种传感器把非电量转换成电量来测量。因此，电子测量不仅用于电子领域，而且广泛用于物理学、化学、光学、机械学、材料学、生物学和医学等科学领域，以及生产、国防、交通、商贸、农业、环保乃至日常生活的各个方面。近几十年来，由于计算机技术和微电子技术的迅猛发展，使电子测量技术发生了质的飞跃。计算机技术与电子测量仪器相结合，构成了崭新一代的智能仪器和自动测试系统。这不仅改变了一些传统的测量观念，对整个电子技术和其他科学技术也都产生了巨大的推动作用。1.3.1 电子测量的内容
通常，人们把电参数测量分为电磁测量和电子测量两类。电磁测量主要是指交直流电量的指示测量、比较测量及磁量的测量等。电子测量从广义上说是泛指以电子科学技术理论为依据，以电子测量仪器和设备为手段，对电量或非电量进行的测量。从狭义上讲则是利用电子技术对电子学中有关的电量所进行的测量。本书是指狭义的电子测量。它可分为以下几个方面。
1.电能量测量
电能量测量包括各种频率、波形下的电压、电流和功率等的测量。
2.电信号特性测量
电信号特性测量包括波形、频率、周期、相位、失真度、调幅度、调频指数及数字信号的逻辑状态等的测量。
3.电路及电路元件参数测量
电路参数包括阻抗、传输系数和网络参数等；电路元件参数测量包括电阻、电感、电容、品质因数及电子器件的参数等的测量。
4.电子设备的性能测量
电子设备的性能测量包括增益、衰减、灵敏度、频率特性和噪声系数等的测量。
在上述各项测量内容中，尤以频率、时间、电压、相位、阻抗等基本电参数的测量更为重要，它们往往是其他参数测量的基础。例如，放大器的增益测量实际上就是其输入／输出端电压的测量，脉冲信号波形参数的测量可归结为电压和时间的测量。在许多情况下，电流测量是不方便的，就以电压测量来代替。同时，由于时间和频率测量具有其他测量所不可比拟的精确性，因此人们越来越关注把其他待测量转换成时间或频率进行测量的方法和技术。
在科学研究和生产实践中，常常需要对许多非电量进行测量。非电量是指各种非电物理量，如压力、位移、温度、湿度、亮度、颜色及物质成分等。非电量测量可以通过各种对应的敏感元件（通常称为传感器），将被测物理量转换成与之相关的电压、电流等，而后再通过对电压、电流的测量，得到被测物理量的大小。传感技术的发展为这类测量提供了新的方法和途径。1.3.2 电子测量的特点
与其他测量方法和测量仪器相比，电子测量和电子测量仪器具有以下特点。
1.测量频率范围宽
电子测量中所遇到的测量对象，其频率覆盖范围很宽，低至-61210Hz以下，高至10Hz以上。当然，不能要求同一台仪器在这样宽的频率范围内工作。通常是根据不同的工作频段，采用不同的测量原理和使用不同的测量仪器.例如，超低频信号发生器、音频信号发生器、高频信号发生器等。当然，随着技术的发展，能在相当宽的频率范围内正常工作的仪器不断地被研制出来，例如，现在一台较为先进-611的频率计，频率测量范围为10～10Hz。
2.测量量程宽
量程是指测量范围的上下限值之差，或上下限值之比。电子测量的另一个特点是被测对象量值大小相差悬殊。例如，地面上接收到的-14宇宙飞船自外空发来的信号功率，低到10W数量级；而远程雷达822发射的脉冲功率，可高达10W以上，两者之比为1∶10。在一般情况下，使用同一台仪器，同一种测量方法，是难以覆盖如此宽广的量程的。如前所述，随着电子测量技术的不断发展，单台测量仪器的量程也可以达到很宽。例如，高档次的数字万用表可直接测量的电阻值-61117的范围为3×10～3×10Hz，量程为1∶10。
3.测量方便灵活
在电子测量中，各种电量之间的转换很容易实现，如电压、电流、功率和频率等。对于非电量，如温度、湿度、压力和位移等物理量，可通过各种类型的传感器将其转换为电量来测量。可以根据不同的对象、不同的要求，以不同的方式方法很好地完成测量任务。在电子测量中，可以方便地利用各种转换技术，如分频、倍频、调制、检波、斩波、V/T、V/F、A/D、D/A，等等，还可以采用先进的信号处理技术，使测量数据更为准确可靠。电子测量的显示方式也比较清晰、直观，例如，可以采用发光二极管（LED）、液晶显示屏（LCD）和荧光屏显示。测量结果便于打印、绘图、传输、指示或报警。
4.测量速度快
由于电子测量是基于电子运动和电磁波传播的，加之现代测试系统中高速电子计算机的应用，使得电子测量无论在测量速度方面，还是在测量结果的处理和传输方面，都可以以极高的速度进行。这也是电子测量技术广泛用于现代科技各个领域的重要原因。例如，卫星、飞船等各种航天器的发射与运行，如果没有快速、自动的测量与控制，是无法实现的。
5.易于实现遥测
如前所述，电子测量依据的是电子的运动和电磁波传播，因此可以将各待测量转换成易于传输的电信号，用有线或无线的方式传送到测试控制台（中心），从而实现遥测和遥控，这使得对那些远距离、高速运动的，或者人类难以接近的地方的信号测量成为可能。
6.易于实现测量智能化和测量自动化
电子测量本身是电子科学一个活跃的分支。电子科学的每一项进步，都非常迅速地在电子测量领域得到体现。随着电子计算机，尤其是功耗低、体积小、处理速度快、可靠性高的微型计算机的出现，给电子测量理论、技术和设备带来了新的革命。1.3.3 电子测量的实现技术
电子科学技术是处理信息最为便捷有效的技术，利用电子科学与技术进行的电子测量为达到准确、精确、快速和直观测量结果，可以采用大量的先进信息处理技术。在实现电子测量的目的中，通常采用了以下几类技术。
1.电子测量中的变换技术
变换是实现间接电子测量的基本环节，电子测量中的变换技术主要包括以下几类。（1）量值变换：信号放大与衰减和阻抗变换等；（2）频率变换：检波、斩波、变频（混频）、倍频、分频、频率合成和取样等；（3）波形变换：整形、限幅、微分、合成和波形变换等；（4）参量变换：A/V/Ω变换、V/F变换、V/T变换和网络参数变换；（5）能量变换：指其他多种形式的物理量与电学量之间的变换；（6）模/数和数/模变换。
2.电子测量中的比较技术
电子测量中的典型比较方法包括差值运算比较（零示法、偏转法），比例运算比较（零示法、偏转法），电压比较，阻抗比较，频率（时间）比较，相位比较和数字比较等技术。
3.电子测量中的处理技术
信号运算与处理是电子测量中的基本技术。电子技术中的处理技术分为模拟运算技术和数字运算技术两大类。模拟运算包括比例、加减、微分、积分、对数、指数、乘除、平方、平方根、均方根、特征值运算、反函数运算、任意函数、解微分方程运算、非线性校正等。数字运算与数字信号处理技术又有两种方式，一种方式是基于数字逻辑电路的硬件方式，利用现有的各种数字逻辑门、译码器、触发器、寄存器、计数器、全加器等；另一种方式是基于微处理器和微型计算机的嵌入式系统的软件方式，可完成各种数字与逻辑的运算，包括模拟电路不能实现的某些复杂运算，如统计运算、FFT运算等。
4.电子测量中的显示技术
测量结果要通过显示器件又把各种电信号转换成人们的感觉器官可直接感知的数字、文字、图形、图像等形式的可见光信号显示出来，实现人机之间的信息交换。在各种测量信息显示方式和显示装置中，目前常用的可划分为电气机械式的指示仪表和电光变换式显示器件两大类。指示式电工仪表的分类有电流表、电压表、功率表、电能表、功率因数表、频率表、相位表、兆欧表、电容表等。电光显示器件包括发光二极管（LED）、液晶显示器和阴极射线管（CRT）三类。1.3.4 电子测量的方法
一个物理量的测量，可以通过不同的方法来实现。测量方法选择的正确与否，直接关系到测量结果的可信度，也直接关系到测量工作的经济性与可行性。电子测量按不同的标准分类的方法很多，下面主要介绍几种常用的分类方法。
1.3.4.1 按测量的手段分类
1.直接测量
直接测量是指用已标定的仪器，直接地测量出某一待测未知量的量值的方法，例如，用电压表直接测量电压。或者是将未知量与同类标准的量在仪器中进行比较，从而直接获得未知量的数值的方法。直接测量的优点是测量过程简单快速，它是一般测量中普遍采用的一种方式。
2.间接测量
当被测量对象由于种种原因不能测量时，可以通过直接测量与被测量有一定关系的物理量，然后按函数关系计算出被测量的数值，这种间接获得测量结果的方式称为间接测量。例如，用伏安法测量电阻，就是利用电压表和电流表分别测量出电阻两端的电压和通过该电阻的电流，然后根据欧姆定律计算出被测电阻的大小。间接测量方式广泛应用于科研、实验室及工程测量中。
3.组合测量
当某项测量结果需要用多个未知参数表达时，可通过改变测量条件进行多次测量，根据函数关系列出方程组求解，从而得到未知量的值，这种测量方式称为组合测量。这种测量方式比较复杂，测量时间长，但精度较高，一般适用于科学实验。
组合测量的测量过程比较复杂，费时较多，往往采用的测量方法与被测对象有较多关联而比较特殊，因此一般用在不能单独进行直接测量或间接测量的场合。
1.3.4.2 按被测对象有源无源分类
按被测对象有源无源分类，可分为有源量或无源量两大类。有源量是指一个能够携带和传送功率的物理量，如电场和磁场等。有源量能将有关量值信息以能量的形式主动地提供出来，传送至传感器或测量仪器，从而取得被测量的有关信息，而不需要另外的辅助激励源。无源量是被动的，它不能主动提供出能量，无法去直接驱动传感器和测量仪器，被测量的有关信息隐含在事物本身的内部结构中，只有在被测对象受到适当激励时，它才在被动产生的响应中显露其固有的特性，通过测量其响应来获取到相关的信息。
在电子测量中，信号特性参量为常见的有源量，主要包含信号的电压与功率、频率与波长、周期与时间、波形与频谱等；因此，电压表、电流表、功率计、频率计、示波器、频谱仪、逻辑分析仪等仪器中不含激励信号源。
系统特性参数为常见的无源量，包括集总与分布参数系统的特性，例如，电阻、电感、电容、品质因数、阻抗、导纳、介电常数、导磁率、驻波比、反射系数、散射系数、衰减以及单位阶跃响应或单位冲激（脉冲）响应与传递函数等。而测量它们的仪器，如RLC测试仪、阻抗分析仪、网络分析仪、扫频仪、晶体管特性图示仪等仪器中均包含有激励信号源。
1.3.4.3 按测量域分类
被测对象按其测量域可分为：频域、时域、数域及随机域。
在电子测量中，相应地可将参量的测量技术划分为时域测量技术和频域测量技术两大类。另外，还有一类参量是服从统计规律的随机信号，如各类噪声，对这类信号的测量就产生了随机测量技术。随着数字技术的发展，需要对数字信号和数字系统进行测量，这类对象的测量与传统的模拟测量技术有很大的区别，因此，产生了数字测量技术。在频域测量中最典型的测量信号是正弦波信号；在时域测量中，因研究瞬态现象，经常遇到脉冲波的测量信号；在随机测量技术中，常用噪声作为随机信号源进行测量。在数字测量技术中，常对二进制的数据信号进行测量。
1.频域测量
频域测量是以获取被测信号和被测系统在频率领域的特性为目的，采用测量被测对象的复数频率特性（包括幅度-频率特性和相位-频率特性）的方法，以得到信号的频谱和系统的传递函数。频域测量有点频法和扫频法两种基本方法。频域测量的主要对象是频谱和网络的测量。用于测量信号电平、频率和频率响应、谐波失真、互调失真、频率稳定度、频谱纯度、调制指数和衰减量等。可以测量一个系统的灵敏度、增益、衰减、阻抗、无失真输出功率、谐波分析、延迟失真、噪声系数、幅频特性和相频特性等多种参数。
2.时域测量
时域测量是以获取被测信号和系统在时间领域的特性为目的，采用测量被测对象的幅度-时间特性的方法，以得到信号波形和系统的瞬态响应（阶跃响应或冲激响应）。在时域测量中，信号波形的采集和分析、系统瞬态特性的测量和分析是最根本的任务，常用的测量信号和待测信号是脉冲、方波或阶跃信号。时域测量技术是研究信号随时间变化和分析一个系统的瞬态过程的重要手段。
3.随机测量
随机测量是认识含有不确定性的事物的重要手段。用统计的观点去研究客观事物带有越来越普遍的意义。最普遍存在、最有用的随机信号是各类噪声。所以随机测量技术又称为噪声测量技术。在电子测量中，利用噪声作为随机信号源进行测量和检测埋藏在背景噪声中的微弱被测信号等测量技术，已发展成为一大类测量方法。由于噪声是一种与时间因素有关的随机变量，对噪声的研究使用概率统计方法，故又把这类测量称为统计测量技术。它主要包括下述三个内容：（1）噪声信号统计特性的测量，如时域中的均值、均方根性，频域中的频谱密度函数、功率谱密度函数等；（2）将已知特性的噪声作激励源对被测系统进行统计性测量，研究被测系统的特性；（3）在背景噪声信号不可忽略时对信号、特别是微弱信号的精确测量。
4.数据域测量
数据域测量技术又称数字测量技术，它是一门研究对数字系统进行高效故障寻迹的科学。在数字测量技术中，被测量的对象是数字脉冲电路、或工作于数字状态下的数字系统，其激励信号是二进制码的数字信号。数据域测量的目标有两个：一是确定系统中是否存在故障，称为合格/失效测量，或称故障诊断；二是确定故障的位置，称为故障定位。
对数字系统进行测量的基本方法是：在输入端加激励信号，观察由此产生的输出响应，并与预期的正确结果进行比较，一致则表示系统正常，不一致则表示系统有故障。一般有穷举测量法、结构测量法、功能测量法和随机测量法。数据域的测量一般分为三个阶段进行：测量生成、测量评价和测量实施。测量生成阶段产生满足故障覆盖要求的测量图形或测量码；测量评价阶段评价产生的测量图形的有效性；测量实施阶段则利用测量仪把测量码加到实际的被测电路中，同时检测电路响应，通过分析和比较给出测量结果。
数据域测量的主要设备有：逻辑笔和逻辑夹、逻辑分析仪、特征分析仪、激励仪器、微机及数字系统故障诊断仪、在线仿真仪、数据图形产生器、微型计算机开发系统、印制电路板测量系统等。
1.3.4.4 按被测量时间特性分类
电子测量物理量在时间上可分为静态量和动态量。所谓静态量是指那些不随时间变化（静止的）物理量，动态量是指随时间不断变化的物理量。传统测量技术主要研究静态量的测量，然而在工程测量中常常遇到动态量的测量。现代测量技术已不只是简单的比较测量，更需要采用现代动态测量技术与手段，包括高速信号采集、快速信号变换与传输、实时信号处理与分析等综合技术，能够快速地、实时地、准确地采集与记录相关的动态实验数据，并及时完成实验结果的处理与分析。根据激励信号和系统状态的不同，电子测量技术可分为静态（直流）测量技术，稳态（交流）测量技术，动态（脉冲）测量技术，随机（噪声）测量技术和数字（逻辑）测量技术五大类。
1.静态（直流）测量技术
当被测对象的状态处于静止不变（或缓变）的状态下，测量系统对应于一个直流（或缓变）的输入激励信号，测量过程不受时间限制。测量的典型方法是比较法。
2.稳态（交流）测量技术
一个波形（幅度、频率和相位）恒定不变的周期性（正弦或非正弦）交流信号，可看成一个处于稳定状态的信号，这种周期性的交流信号是电子测量的一个基本对象，故俗称交流测量。交流电压表、阻抗测量仪、通用示波器、取样示波器、外差式频谱仪等电子测量仪器，均只适宜测量这类处于平稳状态的周期性交流信号。
3.动态（脉冲）测量技术
自然界存在大量瞬变冲激的物理现象，如力学中的爆炸、冲击和碰撞等；电学中的放电、闪电和雷击等，对这类随时间瞬变对象进行测量，称为动态测量和瞬态测量。瞬态测量技术有两种方式：一种是测量有源量，测量幅值随时间呈非周期形变化（突变、瞬变）的电信号；另一种是测量无源量，是以最典型的脉冲信号或阶跃信号作被测系统的激励，观察系统的输出响应（随时间的变化关系），即研究被测系统的瞬态特性。1.4 电子测量仪器
电子测量仪器指利用电子技术实现电子测量的仪表设备，人们通过电子测量仪器完成测量工作，因此电子测量技术的核心是电子测量仪器技术。为了达到测量目的，电子测量仪器一般都具有信息变换、信息比较、信息处理和信息显示的功能。本节介绍电子测量仪器的分类、主要技术指标和发展与动态。1.4.1 电子测量仪器的分类
电子测量仪器的分类方法不一，如果按其功能，大致可分为下面几类。（1）功率与电平测量仪器：主要包括各种模拟式电压表，毫伏表，数字式电压表，电压标准、微波功率计等。（2）电路参数测量仪器：主要包括各类电桥，Q表，RLC测量，晶体管或集成电路参数测量仪，图示仪等。（3）频率、时间、相位测量仪器：主要包括数字频率计，石英钟，数字式相位计，波长计等。（4）波形测量仪器：主要包括各类示波器。如通用示波器、多路跟踪示波器、多路扫描示波器、取样示波器，以及数字存储示波器等。（5）信号分析仪器：主要包括失真度仪，谐波分析仪，频谱分析仪、调制域分析仪等。（6）模拟电路特性测量仪器：主要包括扫频仪，噪声系数测量仪，网络分析仪等。（7）数字电路特性测量仪器：主要包括指逻辑分析仪。（8）测量信号源：主要包括各类低频和高频信号发生器，脉冲信号发生器，函数发生器，扫频和噪声信号发生器等。1.4.2 电子测量仪器的主要技术指标
电子测量仪器的技术指标主要包括以下几个方面。
1.精度
精度是指测量仪器的读数或测量结果与被测量真值相一致的程度。对精度目前还没有一个公认的定量的数学表达式，因此常作为一个笼统的概念来使用，其含义是：精度高，表明误差小；精度低，表明误差大。因此，精度不仅用来评价测量仪器的性能，也是评定测量结果最主要最基本的指标。
2.稳定性
稳定性通常用稳定度和影响量两个参数来表征。稳定度也称稳定误差，是指在规定的时间区间内，其他外界条件恒定不变的情况下，仪器示值变化的大小。造成这种示值变化的原因主要是仪器内部各元器件的特性不同，参数不稳定和老化等因素。稳定度可用示值绝对变化量与时间一起表示。由于电源电压、频率、环境温度、湿度、气压、震动等外界条件变化而造成仪表示值的变化量，称为影响量或影响误差，一般用示值偏差和引起该偏差的影响量一起表示。
3.灵敏度
灵敏度表示测量仪表对被测量变化的敏感程度，一般定义为测量仪表指示值（指针的偏转角度、数码的变化、位移的大小等）增量Δy与被测量增量Δx之比。例如，示波器在单位输入电压的作用下，示波管荧光屏上光点偏移的距离就定义为它的偏转灵敏度。灵敏度的另一种表述方式叫做分辨力或分辨率，定义为测量仪表所能区分的被测量的最小变化量。分辨率的值愈小，其灵敏度愈高。由于存在各种干扰，以及人的感觉器官的分辨能力不同等因素，不必也不应该苛求仪器有过高的灵敏度，否则，将导致测量仪器过高的成本和实际测量操作的困难。通常规定分辨率为允许绝对误差的1/3即可。
4.线性度
线性度表示仪器的输出量随输入量变化的规律。若仪表的输出为y，输入为x，两者关系用函数y～f（x）表示。如果y～f（x）为xy平面上过原点的直线，则称为线性刻度特性，否则称为非线性刻度特性。由于各类仪器原理不同，可能呈现不同的刻度特性。如常用的模拟三用表的电阻挡具有上凸的非线性刻度特性；而数字电压表具有线性刻度特性。仪器的线性度可用线性误差表示。
5.动态特性
电子测量仪器的动态特性表示仪器的输出响应随输入变化的能力。例如，模拟电压表由于动圈式表头指针惯性、轴承摩擦、空气阻尼等因素的作用，使得仪表的指针不能瞬间稳定在固定值上；而数字电压表则不存在上述问题，响应较快。
应当指出，上述各特性是就一般情况而论的，并非所有仪器都要用上述特性来考核。有些测量仪器还可能有其他的技术要求，将在后面有关章节中进行具体介绍。1.4.3 电子测量仪器的发展概况与趋势
尽管电子测量仪器的种类繁多，广泛应用于教学科研和工业生产的各个环节，但就其发展来讲，电子测量仪器围绕着如何更好实现自动测量这个核心技术，大体有四类仪器：模拟仪器、数字化仪器、智能仪器和虚拟仪器。
1.模拟仪器
模拟仪器目前在多数实验室仍能看到，如指针式万用表、晶体管电压表和选频放大器等。仪器中没有采用A/D变换后再进行数字处理，为实现仪器功能全部采用模拟技术，它们的基本结构是电磁机械式的，借助于模拟指针来显示测量结果。这类仪器的缺点是功能单一，没有自动化测量能力。
2.数字化仪器
数字仪器目前相当普及，如数字电压表、数字频率计等。这类仪器将模拟信号的测量通过A/D变换为数字信号测量，并以数字方式输出测量结果，适用于需要快速响应和较高准确度的测量。
3.智能仪器
人们通常把内含微处理器和通用标准接口总线（General Purpose Interface Bus，GPIB）的仪器称为智能仪器，以区别于传统的电子测量仪器。这种仪器具备通用的测量功能，可以单独使用，也可以通过GPIB接口作为可程控仪器组建自动测量系统。这类仪器既能进行自动测试，又具有一定的数据处理能力，可取代部分脑力劳动，习惯上称为智能仪器。但由于其功能块全部都是以硬件（或固化的软件）的形式存在的，因而无论开发还是应用，都缺乏灵活性。
4.虚拟仪器
虚拟仪器（Virtual Instruments，VI）是检测技术与计算机技术和通信技术有机结合的产物。它是在美国国家仪器（National Instruments，NI）公司于1981年提出的个人仪器（Personal Computer Instruments）的基础上发展起来的。虚拟仪器是指在通用计算机上添加测量软件和一些硬件模块，使用户操作这台通用计算机就像操作一台真实的仪器一样。虚拟仪器技术强调软件的作用，提出了“软件就是仪器”的概念。虚拟仪器软件体系结构（Virtual Instrument Software Architecture，VISA）使得不管虚拟仪器使用的计算机或操作系统是什么，所编写的用户应用程序都是可移植的，从而使软件模块具有通用性。自虚拟仪器概念提出以来，以软件代替硬件，以图形代替代码，以组态代替编程，以虚拟仪器代替真实仪器，组建自动测量系统的技术得到迅速发展。
由于现代信息科学领域中的微电子技术、计算机技术、信号处理技术的高速发展，加速了电子测量技术与仪器的变革，新的测量方法和理论、新的测量仪器和结构及新的测量领域正在不断出现，冲击着电子测量技术和仪器的传统观念。从测量仪器的发展趋势来讲，无论是单台仪器，还是大的测量系统都在朝着数字化、智能化、自动化、多功能、小型化、模块化、标准化和开放型方向发展，主要体现在以下几个方面：（1）仪器的测量能力更强、性能更高。主要体现在仪器的工作频带更宽，测量精度更高，可以时域、频域、随机域和数据域测量，且能高速实时测量。（2）仪器更加智能化，测量更加自动化。随着电子测量技术与计算机技术、通信与网络技术和信号处理技术的融合，以及新器件FPGA、EPLD、DSP 和ASIC 的应用，现在的电子测量仪器越来越是智能化、自动化测量系统。功能更加强大，测量速度越来越快。（3）仪器向模块化、标准化和开放型发展。随着GPIB、VXI总线引入测量仪器，仪器越来越是由许多相对独立的模块组成。且这些模块和机箱趋于标准化，每个模块有独立的测量功能，用户可根据测量需要即插即用，十分灵活。（4）仪器虚拟化，软件在仪器中的比重越来越大。随着虚拟仪器概念的引入和数字采集技术的进步，通用采集平台和软件成为测量仪器中的核心组成部分，例如，在现代仪器设计中，软件工作量已占到70%～80%，通用硬件平台占硬件的50%以上。（5）产品设计和制造技术趋于现代化。国外普遍采用了EDA、SMT、CAM、CAT 等设计、制造技术，提高了产品的设计水平和产品的制造质量，缩短了生产周期。习题
1.1 解释名词：测量、计量、电子测量。
1.2 叙述直接测量、间接测量、组合测量的特点。
1.3 叙述电子测量的主要内容。
1.4 叙述电子测量的主要特点。
1.5 选择测量方法时主要考虑的因素。
1.6 国际单位制的七个基本单位。
1.7 比较测量和计量的类同和区别。
1.8 简述电子测量仪器发展历程。第2章 测量误差理论与数据处理
测量是人类对自然界的客观事物取得数量观念的一种认识过程。我们把被测量所具有的真实大小称为真值。由于人们对客观事物认识的局限性、测量工具的不准确、测量手段的不完善、周围环境的影响，以及测量工作中的疏忽等原因，将使测量结果与真值不一致，带来测量误差。测量误差，就是测量结果与被测量真值的差异，误差在测量过程中始终存在。研究误差理论，了解误差规律，其目的在于合理设计和组织实验，正确选用测量仪器和测量方法，并对实验数据进行恰当的处理和分析，以得到符合要求的测量结果。2.1 误差及其来源2.1.1 测量中的常用术语
真值：待测量值所具有的真实大小称为真值。事物的真值是一个理想的概念，一般是未知的。但在某些特定情况下，又是可知的，如一个整圆周角的真值是360°。
实际值：误差理论指出，在排除系统误差的前提下，对于精密测量，当测量次数无限多时，测量结果的算术平均值无限接近于真值，因而可将其视为被测量的真值。但测量次数总是有限的，故按有限测量次数得到的算术平均值只是统计平均值的近似值。而且由于系统误差不可能完全被排除，故通常只能把更高一级精度的标准器具所测得的值作为“真值”。为了与真正的真值相区别，把它称为实际值。
标称值：测量器具所标示出来的数值，如标准电阻上标出的4.7kΩ。
精度：精度是指在测量中所测得数据与真值接近的程度。它与误差大小相对应，可用误差大小表示精度的高低，误差小则精度高。
等精度测量：在同一条件下，所进行的一系列重复测量称为等精度测量。
非等精度测量：在多次测量中，如对测量结果精确度有影响的条件不能维持不变，则称为非等精度测量。
测量误差：所谓测量误差，是指测量结果与被测量真值之间的差异。任何测量系统的测量结果都有一定的误差，故精度（误差）是一项重要的技术指标。2.1.2 误差来源
为了减小测量误差，提高测量精度，有必要分析测量误差的主要来源，以便估算测量误差并采取相应的措施加以减小。
1.仪器误差
仪器误差又称为设备误差，是由于设计、制造、装配、检定等工序的不完善以及仪器使用过程中元器件老化、机械部件磨损、疲劳等因素而使测量仪器设备带有的误差。仪器误差还可细分为：读数误差，包括出厂校准定度不准确产生的校准误差、刻度误差、读数分辨力有限而造成的读数误差及数字式仪表的量化误差等；仪器内部噪声引起的误差；元器件疲劳、老化及周围环境变化造成的稳定误差；仪器响应的滞后现象造成的动态误差；探头等辅助设备带来的其他方面的误差。
减小仪器误差的主要途径是根据具体测量任务，正确选择测量方法和使用测量仪器，包括要检查所使用的仪器是否具备出厂合格证及检定合格证，在额定工作条件下按要求进行操作等。量化误差是数字仪器特有的一种误差，减小该影响的办法是设法使显示器显示尽可能多的有效数字。
2.操作误差
操作误差又称为使用误差，是由于对测量设备使用操作不当而造成的误差。比如有些设备正式测量前未按要求进行预热，有的测量设备实际测量前未按要求进行校准等。减小操作误差的最有效途径是提高操作技能，严格按照仪器使用说明书中规定的方法步骤进行操作。
3.人身误差
人身误差主要是指由于测量者感官的分辨能力、视觉疲劳、固有习惯等对测量实验中的现象与结果判断不准确而造成的误差。比如指针式仪表刻度的读取，谐振法测量L，C，Q参数时谐振点的判断等，都很容易产生误差。
减小人身误差的主要途径包括提高测量操作技能和工作责任心，采用更合适的测量方法等。
4.环境误差
环境误差是指各种环境因素与要求的条件不一致而造成的误差。对于电子测量来说，最主要的影响因素是环境温度、电源电压和电磁干扰等。当环境条件符合要求时，环境误差通常可不考虑。但在精密测量及计量中，需根据测量现场的温度、湿度、电源电压等影响求出其各项影响误差，以便根据需要做进一步的数据处理。
5.方法误差
方法误差是指所使用的测量方法不当，或所依据的理论不严密，或对测量计算公式进行不恰当的简化等原因而造成的误差，也称为理论误差。
方法误差通常以系统误差的形式表现出来。因为产生的原因是方法、理论、公式不当或过于简化，因而在掌握了具体原理及有关量值后，原则上都可以通过理论分析和计算或通过改变测量方法来加以修正或消除。2.2 误差的分类
测量误差有按表示方法、按来源、按误差性质和特点等几种分类方法。
每种表示方法的测量误差又分为绝对误差和相对误差。
绝对误差可表示为：
式中：ΔX为绝对误差；X为测量结果；A为被测量的真值。0
绝对误差能反映误差的大小和方向，但不能确切地反映测量的精确度。例如，测量两个信号频率，信号1的频率f=2GHz，其绝对误1差Δf=20kHz；信号2的频率f=5kHz，其绝对误差Δf=50Hz。从绝对122误差来说，Δf=Δf，但我们并不能因此得出信号2的频率测量更为精21确的结论。相反，Δf相对于其待测频率f来说，占1%；而Δf仅占f2211的0.001%。
为了描述测量的准确度，引出了相对误差的概念。相对误差一般可用两种方式表述：
1.实际相对误差RA
用绝对误差ΔX与被测量的实际值A的百分比值来表示，即
2.示值相对误差RX
用绝对误差ΔX与仪器的示值（或标称值）X的百分比值来表示，即
如在2.1节所述，按照产生误差的来源，误差可分为仪器误差、操作误差、人身误差、环境误差和方法误差。
根据误差的性质和特点，误差又可分为系统误差、随机误差和粗大误差。
系统误差是指在同一条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持恒定，或在条件改变时，按一定规律变化的误差。
根据误差出现的规律，误差可分为恒定系差（误差的大小和方向恒定）和变值系差（误差的大小和方向变化）。变值系差通常又有线性、周期、复杂规律系差等之分。
按照对误差掌握的程度，误差可分为已定系统误差（误差的大小和方向已知）和未定系统误差，但通常都可估计出误差的范围。
随机误差是指在同一条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号均发生变化，时大时小，时正时负，没有确定的规律，也不可预知，但具有抵偿性的误差。
例如，由于仪器不完善、热扰动、测量者感官的无规律变化及实验条件的波动等都可能产生随机误差。
粗大误差是指在一定的测量条件下，明显歪曲测量结果的误差。
例如，在测量时对错了标志、读错或记错了数据，以及因操作不小心而引起的过失性误差等。这种含有粗大误差的测量值称为坏值（异常值）。测量数据中的坏值应当剔除不用。所以，在做误差分析时，要估计的误差只有系统误差和随机误差两类。2.3 随机误差分析
随机误差的数值往往是很小的，只有使用足够灵敏的测量设备和足够准确的测量方法才能发现。一般来说，工程测量中的系统误差总比随机误差大。随机误差处理实质上就是在一系列重复测量中，按误差的概率分布规律求出近似真值的最佳值及估算真值的准确程度。
处理随机误差的理论基础是随机误差的概率分布。测量中对测量值影响较小而且互不相关的多种因素综合影响所引起的这种随机误差的概率分布，通常服从正态分布或高斯分布。从理论上说，这正是概率论的中心极限定理所确定的一个必然结果。
在处理随机误差的精密测量中，大多采用等精度测量。同时，等精度随机误差的处理方法也是处理非等精度随机误差的基础。所以，我们着重讨论等精度随机误差的处理方法。2.3.1 测量值的数学期望和标准差
2.3.1.1 数学期望
假设对被测量x进行n次等精度测量，得到n个测量值x，x，12…，x。由于随机误差的存在，这些测量值也是随机变量。n
定义n个测量值的算术平均值（也称为样本平均值）为
测量值的数学期望定义为样本平均值的极限
式中，E也称作总体平均值。x
假设上面的测量值中不含系统误差和粗大误差，则第i次测量得到的数据x与真值A之间的绝对误差就等于随机误差，即i
随机误差的算术平均值
当n→∞时，式（2.7）中第一项即为测量值的数学期望，故
由于随机误差的抵偿性，当测量次数n趋于无限大时，δ-趋于零，即
即随机误差的数学期望等于零。由上面两式得
即测量值的数学期望等于被测量真值A。
实际测量中不可能做到无限多次，当测量次数足够多时，可近似认为上述两式成立。
由上述分析可得，在实际测量工作中，当基本消除系统误差且剔除粗大误差后，虽然仍有随机误差存在，但多次测量的算术平均值很接近被测量真值，因此可将它作为最后测量结果，并称之为被测量的最佳估值或最可信赖值。
2.3.1.2 剩余误差
当进行有限次的测量时，各次测量值与算术平均值之差定义为剩余误差或残差。
对上式两边分别求和，有
上式表明，当n足够大时，残差的代数和等于零，这一性质可用来检验计算的算术平均值是否正确。当n→∞时，x→E，此时，残差x即等于随机误差δ。i
2.3.1.3 方差与标准差
随机误差反映了实际测量的精密度，即测量值的分散程度。由于随机误差的抵偿性，不能用它的算术平均值来估计测量的精密度，而应使用方差进行描述。方差定义为当N→∞时测量值与期望值之差的平方的统计平均值，即2
式中，σ为测量值的样本方差。求和再平均后，个别较大的误差在式中占的比例也较大，从而使方差对较大的随机误差反应较灵敏。2
由于实际测量中δ都带有单位，方差σ的单位是标准单位的平方，i使用不方便。将上式两边开方，取正的平方根，得
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]