作者：（美）马丁·戴维斯
出版社：湖南科学技术出版社
格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT
第一推动丛书·综合系列：逻辑的引擎(新版)试读：
前言
本书讲述的是我们的现代计算机背后的那些基本概念和发展出这些概念的人。1951年春，当我在阿兰·图灵（Alan Turing）本人曾于10年前工作过的普林斯顿大学获得了数理逻辑博士学位之后不久，我便在伊利诺伊大学讲授一门以他的思想为基础的课程。有一位一直在听我的讲座的年轻的数学家使我注意到教室的街对面正在建造的两台机器，他认为它们就是图灵观念的物理体现。不久，我就在为这些早期的计算机编写软件了。我持续了半个多世纪的职业生涯便是围绕着现代计算机背后的抽象逻辑概念与它们的物理实现之间的关系而展开的。
计算机从20世纪50年代的塞满整个房间的庞然大物，逐渐演变成今天轻巧而强大的能够完成各种任务的机器，在这整个过程中，其背后的逻辑始终保持如一。这些逻辑概念是几个世纪以来数位天才思想家一步步发展出来的。在本书中，我将讲述这些人的生活故事，并解释他们的部分思想。这些故事本身是引人入胜的，我希望读者们不仅能够喜欢它们，而且在读完之后能够更加了解计算机内部的秘密，同时对抽象思想的价值多一份敬意。
在本书写作过程中，我曾得益于各种各样的帮助。约翰·西蒙·古根海姆纪念基金会在研究的早期阶段提供了热情的经济资助，正是当时所做的那些研究才使本书得以问世。Patricia Blanchette, Michael Friedman, Andrew Hodges, Lothar Kreiser和Benson Mates慷慨地与我分享他们那些专业知识。Tony Sale友好地充当了我游览布莱奇利庄园的导游，图灵曾于二战期间在那里对破译德军的秘密通信起了关键性的作用。Eloise Segal是一位忠实而热心的读者，他帮助我避免了解释方面的缺陷，可惜，他在这本书写成之前就离开了这个世界。我的妻子弗吉尼亚竭力使我避免行文含糊不清。Sherman Stein极为认真地读了原稿，提出了许多改进意见，而且纠正了我的几处错误。我还得益于Egon Börger, William Craig, Michael Richter, Alexis Manaster Ramer, Wilfried Sieg和FransÇois Treves等人的翻译。提出有益建议的其他读者还有：Harold Davis, Nathan Davis, Jack Feldman, Meyer Garber, Dick and Peggy Kuhns和Alberto Policriti。我在W.W.诺顿公司的编辑Ed Barber用他那关于英语散文的学识慷慨地对本书加以润色，多处改进都直接得益于此。Harold Rabinowitz向我引见了我的代理商Alex Hoyt，后者自始至终都在帮助我。当然，这一长串名字只是要表达我的感激之情，而不是要使我摆脱本书不足之处的责任。有关评论或修正，读者可发邮件至davis@eipye.com，我将心怀感激。马丁·戴维斯伯克利2000年1月2日
平装版注释：当本书的精装版（名为《通用计算机》（The Universal Computer））正要付梓刊行之时，Julio Gonzales Cabillon和John McCarthy及时使我注意到了几处潜在的令人难堪的错误。对此我感激不尽，同时也很遗憾他们的帮助未能来得及在前言中提及。就在那本书面世后不久，和我一同游览尼罗河的同伴Connie Holmes使我注意到，有一段曾经被我认为是极为明晰的段落实际上是含糊不清的，我已在这一版中进行了修改。谢谢你，Connie。引言
如果，一台为了微分方程数值解而设计的机器与百货商店里的一台用来开账单的机器的基本逻辑是一致的，那么我将把这看成我所遇到过的最令人惊异的一致。——霍华德·艾肯，1956年[1]
现在，让我们回到理论计算机的类比上来……可以证明，我们能够制造出一台那种特殊类型的机器来完成所有这一切工作。事实上，它可以作为任何其他机器的一个模型。这种特殊的机器或可被称为“通用机”。——阿兰·图灵，1947年[2]
1945年秋，正当包含了数千根真空管的巨型计算机ENIAC（电子数字积分计算机）在费城的摩尔电子工程学院接近完成之时，一群专家定期会面以对其计划中的继承者EDVAC（电子离散变量自动计算机）进行讨论。时间一周周过去了，会面时的言辞变得愈发激烈起来，专家们也随之分成了两派，即所谓的“工程师”派和“逻辑学家”派。工程师派的领导者约翰·普莱斯伯·埃克特无可厚非地对他在ENIAC上的成就感到骄傲。要让15000根热真空管共同完成任何一项工作，这都被认为是不可能的。然而，通过小心稳妥的设计原理，埃克特出色地完成了任务。不过，一份关于EDVAC的设计报告正在流传，署名者是小组中逻辑学家派的领导者——著名的数学家约翰·冯·诺依曼（这使埃克特颇为恼火），也正是在此时，争论达到了白热化。那份报告毫不在意工程细节，而是提出了今天以冯·诺依曼结构而闻名的逻辑计算机的基本设计。
尽管ENIAC是工程上的极品，但它却是一堆逻辑上的东西。正是冯·诺依曼作为一个逻辑学家的技能——以及他从英国逻辑学家阿兰·图灵那里学到的东西——使他能够理解，计算机实际上是逻辑机器。它的电路体现了几个世纪以来一大批逻辑学家所提出的观点之精华。当前，正当计算机技术以惊人的速度前进时，正当我们羡慕工程师们令人瞩目的成就之时，我们很容易忘记那些逻辑学家，正是他们的思想使得这一切成为可能。本书讲述的就是他们的故事。第1章莱布尼茨之梦
矿藏丰富的哈尔茨（Harz）山脉位于德国城市汉诺威东南，自公元10世纪起就已经有人来这个地区采矿了。由于地层深处含水较多，所以只有用水泵把水抽到河湾里才能采矿。17世纪时，水车使这些水泵的能力变得强大起来。但不幸的是，这就意味着当冬季水流冻结时，有利可图的采矿工作就不得不终止下来。
1680—1685年，哈尔茨山的矿产管理者开始与一个不易相处的矿工频频发生冲突，这个矿工就是时年30多岁的G.W.莱布尼茨。莱布尼茨是要把风车作为一种额外的能源装置引进来，从而使得采矿工作可以常年进行。此时，莱布尼茨已经取得了许多成就。他不仅在数学上做出了重大发现，而且还以一位法学家而闻名，并且在哲学和神学方面写有大量著述。他甚至还担任了路易十五宫廷中的一项外交职务，以使这位法国的太阳王意识到对埃及（而不是对荷兰和德国）发动一场军事战争的好处。[1]
大约70年前，塞万提斯曾经写了一个忧郁的西班牙人与风车的不幸遭遇。与堂吉诃德不同，莱布尼茨是个顽固的乐天派。面对着世界上显而易见的苦难，莱布尼茨回应那些痛苦万分的人说，上帝对所有可能的世界都无所不知，他无可指责地创造了所有可能世界中最好的一个，我们世界中的一切邪恶因素都以一种最佳的方式为善所平衡。然而最终的情况表明，莱布尼茨卷入哈尔茨山的采矿项目是极大的失败。他的乐观主义使他没有预见到，内行的采矿工程师会对一个声称要教他们如何做生意的新手抱以天然的敌意，他也没有考虑到风的不可靠性，以及一种新的机器不可避免地需要一个试验阶段。然而最不可思议的乐观想法是，他原本打算能够用他从这个项目中获得的收益开展一些工作。
莱布尼茨的眼光惊人地广阔和宏大。他为微积分运算而发明的符号一直沿用至今，这使得人们不用过多思考就可以很容易地进行复杂的演算。实际进行工作的似乎就是那些符号。在莱布尼茨看来，我们对整个人类知识领域也可实施类似的举措。他梦想对一种普遍的人工数学语言和演算规则进行一种百科全书式的汇编，知识的任何一个方面都可以用这种数学语言表达出来，而演算规则将揭示这些命题之间所有的逻辑关系。最后，他梦想能够制造出完成这些演算的机器，从而使心灵从创造性的思考中解脱出来。尽管莱布尼茨抱着乐观的态度，但他知道，把这个梦想转变为现实的任务非他个人力量所能及。不过他的确相信，如果有一些有能力的人在一个科学院中共同工作，那么相当一部分任务是可以在若干年内完成的。正是出于为这样一个科学院筹款的目的，莱布尼茨才卷入了哈尔茨山项目。莱布尼茨的奇思妙想
1646年，莱布尼茨出生于德国的莱比锡。那时的德国被分成了1000多个半自治的政治单元，几乎为持续了近30年的战争所毁。30年战争直到1648年才结束，尽管欧洲所有的主要力量都参与了这场战争，但它主要是在德国本土进行的。莱布尼茨的父亲是莱比锡大学的哲学教授，当孩子仅6岁时就去世了。到了8岁的时候，莱布尼茨不顾老师的反对，开始阅读父亲图书馆中的藏书，不久他便能够熟练地阅读拉丁文作品了。
莱布尼茨注定要成为人类历史上最伟大的数学家之一。他从他的老师那里得到了数学思想的启蒙，但老师们对欧洲其他地方的革命性数学著作一无所知。在当时的德国，即便是欧几里得的初等几何也是一门高等学科，人们通常只是在大学阶段才开始学习它。然而当莱布尼茨只有10岁时，他的老师就把亚里士多德于2000年前提出的逻辑系统介绍给了莱布尼茨，这门学科唤起了他的数学才能和激情。莱布尼茨对亚里士多德把概念分成固定的“范畴”着了迷，他产生了一种“奇思妙想”：他想寻求这样一张特殊的字母表，其元素表示的不是声音而是概念。有了这样一个符号系统，我们就可以发展出一种语言，我们仅凭符号演算，就可以确定用这种语言写成的哪些句子为真，以及它们之间存在着什么样的逻辑关系。莱布尼茨一生都沉迷于亚里士多德的理论，并且对此矢志不渝。
事实上，莱布尼茨在莱比锡写的学士论文就是关于亚里士多德形而上学的。他的老师在同一所大学的论文论述的是哲学与法律之间的关系。莱布尼茨显然也被法律研究所吸引，他又获得了一个法律学士学位，这一次他写的论文强调了系统性的逻辑在法律方面的应用。莱布尼茨对数学的第一项真正贡献源于他在大学讲授哲学课程的资格论文（Habilitationsschrift）：作为他关于一个概念符号系统的奇思妙想的第一步，莱布尼茨预见到有必要清点这些概念的各种不同组合方式。这使他系统地研究了基本元素复杂排列的数目问题。这方面的工作首先见于他那篇大学授课资格论文，然后是那部内容更加广泛的专著《论组合术》（Dissertatio de Arte Combinatoria）。[2]
在继续进行法律研究的过程中，莱布尼茨为获得莱比锡大学的法律博士学位而提交了一篇论文。它的主题具有典型的莱布尼茨风格，即用推理来解决那些用一般方法难以处理的法律案件。由于种种原因，莱比锡大学并没有接受这篇论文，于是莱布尼茨就把它转交给纽伦堡附近的阿特道夫（Altdorf）大学，在那里这篇论文获得一致好评。22岁那年，莱布尼茨的正式教育完成了，他面临着毕业生的常见问题：如何获得一个职位。巴黎
莱布尼茨对在德国当大学教授没有多大兴趣，他还有另一条路可走，那就是找一个富有的贵族做资助人。他找到了美茵茨选帝侯的侄子约翰·冯·博伊纳堡，他让莱布尼茨去修订基于罗马民法的法律体系。不久，莱布尼茨被委任为高等上诉法院的法官，同时还参与了一些外交谋略，其中包括未能得逞的对波兰新任国王的选举进行干预，以及前往路易十四的宫廷执行一项任务。
30年战争使得法国成为欧洲大陆的霸主。坐落于莱茵河畔的美茵茨在战争期间就尝到过被军事占领的滋味。因此，美茵茨人非常清楚阻止敌人采取军事行动以及与法国保持良好关系的重要性。正是在这种情况下，博伊纳堡和莱布尼茨才策划说服路易十四及其幕僚意识到把埃及作为军事目标的巨大利益。这一建议——事实上，正是同一建议使拿破仑在一个世纪后陷入了军事灾难——最重大的历史后果就是把莱布尼茨带到了巴黎。
莱布尼茨于1672年来到巴黎，为的是促成埃及计划，并且帮助解决博伊纳堡的一些财政方面的问题。就在这一年，博伊纳堡死于中风的消息传来，这对他是灾难性的打击。尽管莱布尼茨仍在为博伊纳堡家族服务，但却丧失了可靠的收入来源。不过，他设法在巴黎又待了4年，在这4年里他硕果累累，极为多产，其间还对伦敦做了两次短暂访问。[3]1673年，他在第一次访问时展示了一台能够执行四种算术基本运算的计算机模型，这使他被一致推选为伦敦皇家学会会员。尽管帕斯卡曾经设计过一台能够进行加减运算的机器，但莱布尼茨的机器却可以进行乘除运算，这还是历史上的第一次。这台机器包括了一个天才的部件——“莱布尼茨轮”，直到20世纪，这一部件仍在计算装置上普遍使用。关于他的机器，莱布尼茨写道：
如果要给这台机器以决定性的称赞，那么我们也许可以说，它将使所有那些从事计算工作的人感到喜悦，众所周知，他们就是那些从事金融业务的管理人员、他人财产的管理者、商人、测量员、地理学家、航海家、天文学家……如果只限于科学上的用途，那么古老的几何表和天文学表可以被修正，新表可以被制造出来，利用它们，我们可以测量一切种类的曲线和形体……尽可能地扩充乘法表、平方表、立方表、其他幂次的表、组合表、变分表以及一切种类的级数表是值得的……天文学家们也将不必继续耐着性子进行计算……因为让优秀的人像奴隶一样把大量时间浪费在计算工作上是不值得的，如果使用机器，这些任务就可以被安全地交给任何人去做。[4]
莱布尼茨的机器只能做普通的算术，但他却把握住了机器演算更为深广的含义。1674年，他描述了一种能够解代数方程的机器。一年之后，他为一种机械装置写了相应的逻辑推理，这样就指出了一个目标，即把推理还原为一种演算，并且最终制成能够完成这些演算的机器。[5]
对于时年26岁的莱布尼茨来说，一个至关重要的事件就是他见到了当时居住在巴黎的荷兰大科学家克里斯提安·惠更斯。43岁的惠更斯此前发明了摆钟，并且还发现了土星环。他最重要的贡献——光的波动理论还没有提出。惠更斯认为光是由波构成的，就像石块投入池塘中泛起的波浪传播开来一样。他的想法与伟大的牛顿完全相左，后者认为光是由一串子弹似的微粒流构成的。惠更斯交给莱布尼茨一份书目，它使这位年轻人很快就了解了当前的数学研究状况。不久莱布尼茨就做出了重要的贡献。
17世纪数学研究的迅速发展主要得益于两项主要进展：
1.处理代数表达式（一般是高中代数的内容）的技巧已经被系统化，这种强大的技巧一直沿用至今。
2.笛卡儿和费马分别论证了，如何通过用一组组的数对表示点而把几何归结为代数。
数学家们都在运用这种新的手段来解决那些以前无法处理的问题。相当一部分工作要涉及极限过程，也就是说，用最终结果的近似值来一步步地逼近这个结果，从而解决一个问题。其想法是，近似值是不够的，只有逼到极限才能获得一个精确解。
举一个例子便可说明这个概念，它是莱布尼茨早期得到的一个结果，对此他很是自豪：
等号的左边是我们所熟悉的圆的周长和面积公式中的π，等号右边则是所谓的无穷级数；它的交替加减的数被称为这个级数的项。省略号的意思是它无限地继续下去。其中的每一项都是以1作为分子，相继的奇数作为分母的分数，它们交替加减，这可以从已经写出的有限的几项看得很清楚：先减去1/11，再加上1/13，再减去1/15等等。但我们真的可以进行无限次加减运算吗？并非如此。但是，从开头一项到任何一项为止，我们都可以获得对“真实”结果的一项近似，随着越来越多的项加入进来，这个近似结果也变得越来越好。事实上，这个近似可以通过加入越来越多的项以达到任意的精确度。对于莱布尼茨的级数来说，这可以从表中显示出来。当我们取到10 000 000项时，得到的数值与π/4的真实值即0.7853981634的前8位保持一致。
莱布尼茨级数给人留下了深刻的印象，因为它通过一种特别简洁的方式把奇数序列与π这个数继而与圆的面积联系了起来。这是可以利用极限过程来解决的一类问题——确定边界为曲线的图形的面积——的一个例子。另一类可以利用极限来解决的问题是确定准确的变化率，比如一个运动物体不断变化的速度。1675年，莱布尼茨即将结束他在巴黎的逗留，在这一年的最后几个月中，他用极限过程实现了概念和计算上的一连串突破，所有这些工作即被称为他所“发明的微积分”：
1.莱布尼茨发现，计算面积和变化率的问题从某种意义上说很有代表性，因为许多不同种类的问题都可以还原为这两类问题中的某一类。
2.他还认识到，求解这两类问题的数学运算实际上彼此互为逆运算，这在很大程度上就如同加法和减法（或乘法和除法）彼此互为逆运算一样。今天，这些运算分别被称为积分和微分，它们彼此相反这一事实即人们所熟知的“微积分基本定理”。
3.莱布尼茨为这些运算发展出了一套恰当的符号系统（这些符号一直被沿用至今），∫表示积分，d表示微分。最终，他发现了实际实现微分和积分所需的数学规则。
这些发现把对极限过程的应用从一种只有少数几位专家能懂的奇特方法，变成了一种可以在教科书中向成千上万的人讲授的直截了当的技巧。[6]与本书的主题密切相关的是，莱布尼茨的成功使他确信，选取恰当的符号并且定出它们的操作规则是极为重要的。∫和d这些符号并不像一个语音符号系统那样代表着毫无意义的声音，而是代表着概念，这样就为莱布尼茨童年时的那种代表着一切基本概念的符号系统的奇思妙想提供了一个模型。
关于牛顿和莱布尼茨各自完全独立地发明微积分的过程，以及在真相大白之前来往于英吉利海峡两岸之间针对剽窃指控的口诛笔伐，人们已经写过许多著述。对我们的故事而言，莱布尼茨所使用的符号的极大优越性是最重要的。[7]积分中所使用的一个关键技巧（“置换”法）在莱布尼茨的符号系统中实际上是必然出现的，而在牛顿的符号系统中则更为复杂。甚至有人指出，由于盲目地固守其民族英雄的方法，牛顿的英国追随者们对微积分的发展远远落后于其同时代的大陆同行。
就像许多品尝到了巴黎生活的特殊情趣的人那样，莱布尼茨想在那里尽可能长地待下去。他一方面继续在巴黎工作和生活，一方面又试图维持他在美茵茨的关系。但没过多久，情况就很明朗了，只要他还待在巴黎，美茵茨就不会再给他提供资助。与此同时，他收到了一份发自汉诺威——17世纪德国的许多个公国之一——公爵的职位邀请。尽管约翰·弗里德里希公爵对理智方面的东西不乏某些真正的兴趣，而且还承诺提供经济上的保证，但莱布尼茨并不期望生活在汉诺威。在做出了尽可能长的拖延之后，莱布尼茨的经济状况使他无法继续维持下去，遂于1675年较早的时候接受了这份邀请。在复信中，他要求公爵允许自己能够“在艺术和科学领域中为了人类的利益自由地进行研究”。[8]1676年秋天，莱布尼茨离开了巴黎，此时巴黎不会再给他提供职位，公爵也不允许更长时间的拖延了。莱布尼茨的余生将一直为汉诺威的公爵服务。汉诺威
莱布尼茨很清楚，尽管他要求自己能够“在艺术和科学领域中自由地进行研究”，但为了在新职位上取得成功，他不得不去做一些被他的资助人认为是有用和实际的事情。他着手改良公爵的图书馆，并且提出了各种想法以改善公共管理和农业。在那之后不久，他就开始对哈尔茨山采矿操作进行注定会失败的改进。莱布尼茨所负责的哈尔茨山项目最终被核准了，但仅仅过了1年，公爵于1680年的突然去世使得莱布尼茨的职位受到了威胁。
现在必须要说服新的公爵恩斯特·奥古斯特把莱布尼茨的职位继续下去，并且对哈尔茨山项目进行资助。新的公爵是一个“实际”的人，与其前任不同，他不愿在图书馆上花费过多。莱布尼茨很快就学会了不把恩斯特·奥古斯特卷入学术讨论。为了巩固自己的职位，莱布尼茨提议编写公爵家族的简史。5年之后，当公爵最终叫停哈尔茨山项目时，莱布尼茨提交了一份更为详尽的家族史：如果几处空缺被填补，那么家谱就可以一直追溯到公元600年。公爵显然把这视为雇用历史上一位最伟大思想家的极为合适的方式，他对此毫不吝惜。由于这项任务，莱布尼茨得到了一份固定的薪水、一个私人秘书以及搜集家谱信息的旅费。乐观的莱布尼茨很可能没有想到，自己会在余下的30年里一直为家谱所牵制。（恩斯特·奥古斯特死后，1698年继任的格奥尔格·路德维希对莱布尼茨完成这份家族史尤其不遗余力。）
如果说莱布尼茨在汉诺威有学生的话，那么她们是一些女性，他从未像普通人那样对女性的智力抱有偏见。恩斯特·奥古斯特公爵的很有才华的夫人索菲经常与莱布尼茨就哲学问题进行讨论，而且当莱布尼茨离开汉诺威的时候还与之进行大量的通信。她还设法使自己即将成为普鲁士女王的女儿索菲·夏洛特也能够受益于莱布尼茨的教导。索菲·夏洛特并不单单满足于接受莱布尼茨的智慧，她经常会主动提出一些问题，这有助于莱布尼茨澄清自己的思想。正如当代的莱布尼茨专家班森·梅茨所说：
在莱布尼茨一生中的大部分时间里，这些女性是他在汉诺威和柏林的宫廷里的主要支持者。索菲·夏洛特在1705年的突然去世几乎使他崩溃。对他而言，这是一个如此重大的损失，以至于连外国的政府公使都向他表达了正式慰问。当公爵夫人索菲……于1714年去世时，除继续写作不伦瑞克的历史之外，他在其他一切方面的资助都终止了。[9]
这项历史方面的任务确也为莱布尼茨提供了一个外出旅行的借口。他充分地利用这种自由，这不禁使其资助人大为光火。当然，莱布尼茨还尽可能地与学者保持接触。在柏林，他甚至建立了一个科学协会，后来成为科学院。他的大量通信涵盖了他的兴趣的方方面面。莱布尼茨似乎从不倦于说明，既然上帝在创世方面已经做得足够好了，所以在存在的事物与可能的事物之间必定存在着一种前定和谐，世界上的任何一个事物都有一个充足理由（无论是否能够发现它）。在外交领域，莱布尼茨有两项最受欢迎的计划：重新统一基督教会的各派力量以及为汉诺威公爵获取英国王位的继承权。而当格奥尔格·路德维希果真于1714年（此时距莱布尼茨1716年去世只有2年了）成为英王乔治一世之时，他又粗暴地拒绝了莱布尼茨离开汉诺威的穷乡僻壤去伦敦和自己待在一起的请求，只是命令他抓紧时间完成那份家族史。普遍文字
那么，莱布尼茨青年时的奇思妙想，即找到一个人类思想的真正的符号系统以及操纵这些符号的恰当的演算工具的宏伟梦想怎样了呢？尽管他不得不承认，如果没有帮助，他就无法在这件事情上取得成功，但他从未忘记这个目标，他终生都在为它进行思考和写作。他很清楚，算术和代数中使用的特殊符号、化学和天文学中使用的符号以及他为微积分运算所引入的符号都提供了范例，说明一个真正合适的符号系统是多么重要。莱布尼茨把这样一个符号系统称为一种文字（characteristic）。与没有实际含义的字母表中的符号不同，在他看来，刚才所说的那些例子都是一种真实的文字，每一个符号都以一种自然而恰当的方式表示某个确定的观念。莱布尼茨认为，我们需要的是一种普遍文字（universal characteristic），即一个不仅真实，而且包含了人类全部思想领域的符号系统。
在一封向数学家G.F.A.洛比达解释这些内容的信中，莱布尼茨写道：代数的“部分秘密就在于文字，也就是说在于恰当地使用符号表达式的技艺”。这种对恰当使用符号的关切就是那根能够引领学者创造出他的文字的“阿里阿德涅之线”。
正如20世纪早期的逻辑学家兼莱布尼茨专家路易·古杜拉所说：
可以说，正是代数符号体现了文字的理想，它成了一个典范。莱布尼茨也一直用代数的例子来说明一个恰当选取的符号系统是多么有用，而且是演绎思想所不可或缺的。[10]
也许莱布尼茨对自己所提出的文字的最富激情的说明出现在他致让·伽鲁瓦（莱布尼茨曾与之进行过大量通信）的信中：
我对这一普遍科学的用处和实在性越来越深信不疑，我发现极少有人理解它的范围……这种文字是由某种符号或语言构成的……它们完全代表了我们观念之间的关系。这些字符将与迄今为止所想到的字符极为不同。因为人们已经忘记了一条原理，即这种文字的字符将会有助于发明和判断，就像在代数和算术中那样。这种文字将会带来巨大的好处，对我来说，其中有一点尤为重要，那就是用这些字符是写不出在我们看来荒诞不经的想法（chimères）来的。一个无知的人将无法使用它，或者，通过努力学习使用它，他本人将变得博学多才。[11]
在这封信中，莱布尼茨称算术和代数表明了一个恰当的符号系统的重要性。他想到了我们今天仍在使用的以0～9这几个数字为基础的阿拉伯符号系统，对于日常计算来说，它们大大优于早先的系统（比如罗马数字）。当莱布尼茨发现任何数都可以仅仅用0和1表示出来即二进制时，他被这一系统的简洁深深地震撼了。他相信揭示出数的深层性质是有用的。尽管这一信念最终未能证明为合理，但考虑到这种二进制记法与现代计算机之间的关联，莱布尼茨的这种想法是非同寻常的。
莱布尼茨认为他的宏伟计划由三个主要部分组成。首先，在合适的符号被选择出来之前，有必要创造一套涵盖人类知识全部范围的纲要或百科全书。一旦我们完成了这一步，对其背后的关键观念进行选择，并为其中的每一个提供合适的符号就是可能的了。最后，演绎规则可以还原为对这些符号的操作，也就是莱布尼茨所说的“推理演算”（calculus ratiocinator），今天或可称其为一种符号逻辑。在今天的读者看来，莱布尼茨感到无法单凭自己的力量完成这样一个计划是不足为奇的，特别是他还一直受到编写家族史的重压，这被他的资助人视为他的主要任务。然而事情还不只如此，让今天的我们更难理解的是，莱布尼茨如何能够严肃地相信，我们居于其中的纷繁复杂的宇宙可以归结为一种符号演算。
我们只能试着以莱布尼茨看待这个世界的眼光来理解这一点。对莱布尼茨而言，世界上绝对没有任何事物是偶然的或未被决定的；任何事物都遵循着一个计划，上帝对此一清二楚，他正是通过这个计划创造了一切可能世界中最好的世界。因此，世界的一切方面，无论是自然的还是超自然的，都是有关联的，我们可以冀望通过理性的方法来发现这些关联。只有从这种眼光出发，我们才能理解莱布尼茨如何可能在一个著名的段落中说，严肃的“具有善良意志的人们”围坐在桌子旁边来解决某个棘手的问题，在用莱布尼茨所设想的语言——他的普遍文字——写出这个问题之后，人们就可以说：“让我们算一下！”于是人们拿出笔来找到一个解答，其对错必然可以为所有人接受。[12]
莱布尼茨满怀热情地指出了发明“推理演算”这种逻辑代数的重要性，它们对于完成这些演算是不可或缺的：
如果对定出正立体数目的人大加褒扬（这没有丝毫的用处，除非是在沉思给人带来愉快的意义上说），如果认为让一个数学天才去揭示一条蚌线、蔓叶线或其他某种几乎没有什么用处的图形是一项值得的训练，那么，让人的推理（这是我们所拥有的最为卓越、最为有用的东西）服从数学定律，这难道不是好得多吗？[13]
虽然莱布尼茨以如此的热情和信心描述了普遍文字，但他却没有完成任何具体的工作。与此不同的是，在创造出一种“推理演算”方面，他的确做出过若干次尝试。他在这方面的部分努力可见于附图。[14]莱布尼茨提出的逻辑代数足足超前于他的时代一个半世纪，就像普通代数规定了数字的操作规则那样，这种代数清楚地规定了逻辑概念的操作规则。他引入了一种特殊的新符号来表示把任意多个项组合在一起，这一思想有些类似于把两组事物合成包括两组中所有项的一组事物。他引入了一种特殊的新符号⊕来表示把各项组合在一起。加号启发我们把这种操作看成与普通的加法类似的运算，但它周围的圆圈却警告我们它与普通的加号并不一样，因为相加的并不是数。他的某些代数规则也可见于高中代数课本。从某种程度来说，适用于数的规则也适用于逻辑概念，但还有一些规则是相当不同于那些适用于数的规则的。属于后一类规则的最明显的例子是莱布尼茨的公理2，即A⊕A=A，正是在大体相同的背景之下，乔治·布尔使这条规则成为了其逻辑代数的基础。这条规则说的是这样一个事实，即把若干项与其自身进行组合将不会产生任何新的东西：显然，把某一组事物与同一组事物进行组合，得到的仍将是同一组事物。当然，数的加法是非常不同的：2+2=4，而不是等于2。
定义3 A在L之内或者L包含A，等价于L可以与以A为其中一项的许多项合在一起后相一致。B⊕N=L表示B在L之内，且B与N共同组成了L。更多数目的项的情形也是一样。
公理1 B⊕N=N⊕B
公设任意多的项，比如A和B，可以被加在一起组成一个单一的项A⊕B。
公理2 A⊕A=A
命题5 如果A在B之内且A=C，则C在B之内。
如果把命题中的A在B之内中的A替换为C，就得到了C在B之内。
命题6 如果C在B之内且A=B，则C在A之内。
如果把命题中的C在B之内中的B替换为A，就得到了C在A之内。
命题7 A在A之内。
因为（根据定义3）A在A⊕A之内，所以（根据命题6）A在A之中。
……
命题20如果A在M之内且B在N之内，则A⊕B在M⊕N之内。
莱布尼茨逻辑演算中的一例
在下一章中，我们将会看到乔治·布尔在对莱布尼茨的努力可能一无所知的情况下，如何沿着莱布尼茨所开辟的方向提出了一种可用的符号逻辑。布尔的逻辑涵盖了亚里士多德2000多年前所引入的逻辑。然而只有到了19世纪，由于戈特洛布·弗雷格的工作，亚里士多德与布尔的逻辑体系所共有的严重的局限性才被真正克服。[15]
尽管莱布尼茨的通信卷帙浩繁，但我们对他个人的情况却并不了解多少。有一位传记作家声称，他在我们所拥有的极少数莱布尼茨的画像中看到了一个疲惫的、不快乐的、悲观的人，这一反他的乐观主义哲学。[16]其他人则说，他喜欢把糕饼分给邻居的孩子们。据说他50岁的时候曾经向人求过婚，但是当那位女士犹豫的时候他又重新做了考虑，并改变了主意。[17]我们关于莱布尼茨的印象是：长时间地甚至彻夜坐在书桌旁极为准时地处理大量信件，饭菜则由他的仆人从小饭馆里带给他。他不知疲倦地进行着工作，这一点是毫无疑问的。
如果莱布尼茨没有受到他的资助人的家族史的拖累，并且可以自由地为其“推理演算”花费更多时间，那么情况又将如何呢？他难道不可能完成布尔在很久以后才能完成的工作吗？当然，这种猜测是无用的。莱布尼茨留给我们的是他的梦想，但即使是这个梦想，也使我们对人类的思辨思想充满了敬意，它成为衡量后续发展的一根准绳。第2章布尔把逻辑变成代数乔治·布尔的艰辛岁月
美丽而聪慧的卡洛琳娜·冯·安斯巴赫公主日后将会成为英国王后，即乔治二世之妻。1704年，当她18岁时，她在柏林见到了莱布尼茨。在她随同王室前往英国之后，他们仍然借助通信保持着友谊。她试图说服自己的公公——英王乔治一世——把莱布尼茨带到英国，但正如我们已经知道的，国王坚持让莱布尼茨待在德国完成汉诺威家族史。
卡洛琳娜发现自己被卷入了莱布尼茨与牛顿及其支持者之间的没完没了的愚蠢争论之中，双方都指控对方在微积分的发明上进行了剽窃。她试图使莱布尼茨相信这件事情没有那么重要，但他却不这样认为。事实上，莱布尼茨希望她能劝说国王任命自己做英国的史料编纂者，从而与牛顿担任的造币厂厂长一职相当，而且声称只有这样，与英国相比，德国对抗英国的荣耀才能被保持下来。莱布尼茨给卡洛琳娜写信说，当牛顿声称一颗沙粒能够对遥远的太阳施加一种引力，而无须任何传播这种力的手段时，他实际上是在诉诸神秘的方法来解释一种自然现象，这是无论如何不能接受的。卡洛琳娜则把莱布尼茨的一些著作译成了英文。这一努力使她开始与塞缪尔·克拉克进行接触，有人曾向她举荐后者担当译者。
克拉克是一个哲学家和神学家，也是牛顿的一个忠心耿耿的追随者。在其《上帝的存在与属性》（Being and Attributes of God）（1704）一书中，克拉克提出了一种对上帝存在的证明。卡洛琳娜给他看了一封莱布尼茨攻击牛顿观点的信，并要求他做出回复。这使两人之间开始了长时间的通信，直到莱布尼茨去世前几天为止。毫不奇怪，这两人的思想之间没有共通之处。从我们故事的角度看，关于塞缪尔·克拉克的最有趣的事情是，在莱布尼茨去世几乎一个半世纪之后，乔治·布尔将把克拉克对上帝存在的证明作为一个例子，来论证他本人方法的有效性。事实上，通过这些方法，布尔成功地使莱布尼茨的部分梦想焕发了生机，使得克拉克的复杂演绎可以被归结为一组简单的方程。[1]
从莱布尼茨与17世纪的欧洲贵族阶层的世界到乔治·布尔的世界，我们不仅把时间推进了两个世纪，而且还把社会阶层降低了几级。1815年11月2日，乔治出生于英国东部的林肯镇，是四个孩子中的老大。他的父母约翰·布尔和玛丽·布尔在结婚的头9年中一直没有孩子。约翰·布尔是一个补鞋匠，他靠这点生意勉强维持着生活，但却对知识特别是科学仪器有着极大的兴趣。在他的商店橱窗里，他自豪地展出了一架他亲手制作的望远镜。不幸的是，他对生意并不在行，于是支撑整个家庭的重担很快便落在了他那才华横溢的尽职尽责的儿子肩上。[2]
1830年6月，林肯镇的公民目睹了一场无聊的争论。这场争论是在当地的一家报纸上展开的，争论的话题是古希腊作家梅利埃格的一首诗作的英译文的原创性。这篇译文曾作为“林肯14岁的G.B.”的作品刊登在《林肯报》（LincolnHerald）上，后来P.W.B.撰文指控G.B.剽窃。P.W.B.承认他无法提供G.B.抄袭的出处，他只是认为这样一篇作品竟会出自一个14岁的孩子之手是不可思议的。这场论战使G.B.和P.W.B.之间来往过几封书信，它们都被原封不动地刊登在《林肯使者》上。
乔治·布尔的家庭早就发现了他的能力，却没有钱让他接受正规的教育。于是，在父亲的重要帮助下，乔治主要依靠自学成才。布尔不仅学习了拉丁语和希腊语，学习了法语和德语，而且还能（当然是很久以后）用这些语言写出数学研究论文。他从未信仰过任何教派，他发现自己不可能信仰基督的神性，但他在整个一生中却秉持着强烈的宗教信念。他不久就抛弃了自己早先成为英国圣公会牧师的念头，这固然是由于他的信仰，但更重要的是因为当父亲的生意破产之后，他的家庭需要直接的经济来源。当乔治在离家40英里以外的一所卫理公会学校当一名教师时，他还不满16岁。2年之后他被解雇了，这显然是因为他的不敬神的行为受到了责难：他星期天研究数学，甚至在做礼拜时也是如此！其实，正是在这个时候，布尔才开始越来越转向数学。后来，他在回忆早年的这段生活时解释说，由于买书的钱非常有限，他发现数学书提供了最好的机会，因为看完它们要比看完其他书花费更长的时间。他还喜欢谈及自己在卫理公会学校期间突然降临到身上的灵感。走过一片田野时，一个想法突然在他头脑中闪过：应该可以用代数形式来表达逻辑关系。这一体验曾被一位传记作家比作保罗走向大马士革的道路，它只有在许多年之后才会结出硕果。[3]乔治·布尔
离开卫理公会学校之后，布尔在利物浦找到了一个职位。但在那里教了6个月课之后，他就感到不得不离开了，这可能是因为学校的校长下了逐客令，因为（用他妹妹的话说）他“无所顾忌地沉溺于自己强烈的欲望和激情当中”。[4]他的下一份工作持续的时间也不长。19岁那年，乔治·布尔决定在他的家乡林肯创办他自己的学校，以使他的家庭得到稳定的经济来源。15年来，布尔一直都成功地担任着校长一职，直到接受了爱尔兰的科克（Cork）城新成立的一所大学的教授职位为止。他的学校（接连有三所）是他的父母和兄弟姐妹唯一的经济支柱，尽管这还需依赖于他的妹妹玛丽·安和弟弟威廉后来的帮助。
虽然经营一所走读的寄宿学校并且讲无数的课程很可能需要整日操劳，但布尔正是在这个时期从一个数学学生转变成了一位富有创造力的数学家。此外，不知怎地，他还抽出一些时间进行社会改良活动。他是林肯镇一个女忏悔者之家的创办人和托管人，其目的是“为在美德的道路上失足的女性提供一个暂时的收容所，通过道德和宗教教育，使她们养成勤勉的习惯，从而赢得社会的尊重”。布尔的传记作家说，这个机构所要帮助的女忏悔者指的就是妓女（维多利亚时期的林肯显然有许多）。[5]其实更有可能的情况是，这里的顾客通常是一个年轻的女仆，她发现自己怀孕了，同时又被与她处于同一社会阶层的情人在许诺了婚约之后抛弃。：从乔治·布尔的两篇关于非数学主题的讲演中，我们也许可以对他关于性问题的态度略知一二。在一篇有关教育的讲演中，他警告说：
现存的希腊罗马文献中有很大一部分……都被其中提及的异教之罪恶（往往不只是提及）深深地玷污了……但我不相信，当单纯的年轻人面对被恶污染的东西时会没有危险。[6]
在一篇有关适当利用闲暇的讲演中[在“林肯提早打烊协会”（Lincoln Early Closing Association）胜利赢得10小时工作日之后所作]，布尔严厉地说：
没有理由在那些背离美德的事务中寻求满足。[7]
同父亲一样，布尔也与林肯的技工学院有着不解之缘。这些技工学院主要致力于对工匠和其他工人进行业余教育，它们曾在维多利亚时期如雨后春笋般遍及英国全境。布尔在林肯的一家技工学院做一些委员会工作，他的责任是为改善图书馆提供建议、做讲演以及无偿教授许多课程。
然而不知为什么，在做所有这些事情的同时，他还抽出时间研究了英国和大陆的一些最重要的数学文献，并且开始做出自己的贡献。布尔的许多早期工作见证了莱布尼茨对恰当的数学符号系统的力量的信念，符号似乎无须什么帮助就能奇迹般地产生出问题的正确答案，为此莱布尼茨曾举过代数的例子。在英国，当布尔开始自己的工作时，人们已经渐渐认识到代数的力量来自于这样一个事实，即代表着量和运算的符号服从不多的几条基本规则或定律。这就暗示着，同样的力量也可适用于形形色色的对象和运算，只要它们也服从这其中某些同样的定律。[8]
在布尔的早期著作中，他把代数方法应用于那些被数学家称为算子的对象上。它们对普通代数的表达式进行“运算”，以形成新的表达式。布尔对微分算子特别感兴趣，之所以有这样的称呼，是因为它们包含着前一章所提到的微积分的微分运算。[9]这些算子被认为具有特殊的重要性，因为物理世界中的许多基本定律都具有微分方程（即包含微分算子）的形式。布尔说明了某些微分方程如何可能通过把普通代数方法应用于微分算子而得到解决。今天，工程和科学专业的学生通常在大学二年级或三年级的微分方程课上学习这些方法。
在担任校长期间，布尔在《剑桥数学杂志》（Cambridge Mathematical Journal）上发表了不少研究论文。此外，他还提交了一篇很长的论文给《皇家学会哲学会刊》（Philosophical Transactions of the Royal Society）。起初，皇家学会不愿考虑这样一个外行所提交的文章，但他们最终还是接受了它，并且授予它金质奖章。[10]布尔的方法是引入一种技巧，然后把它应用于若干实例。与那些得到解决的例子一样，他通常并不要求证明他的方法是正确的。[11]
就在这个时候，布尔开始与几位顶尖的英国年轻数学家进行通信并且发展了友谊。事实上，正是苏格兰哲学家威廉·汉密尔顿爵士与布尔的朋友奥古斯都·德摩根之间的一场争论，才把布尔的思想带回到了他很久以前的那次灵光闪现，即逻辑关系也许可以表示成一种代数。尽管汉密尔顿在形而上学方面学识很渊博，但他似乎有点像一个热衷于争吵的愚人。他发表文章对数学作为一门学科进行攻击，这只可能是由于他对这门学科甚为无知造成的。事情的导火索是德摩根发表的一篇关于逻辑学的文章，汉密尔顿声称他剽窃了他本人在逻辑学上的伟大发现，即他所说的“谓词的量化”。我们无须花费时间来理解这一思想或它所引发的激烈争论——它之所以重要，仅仅是因为它激励了乔治·布尔。[12]
曾令年轻的莱布尼茨如此着迷的亚里士多德的古典逻辑包括这样一些句子，如：
1.所有的植物都是有生命的。
2.没有河马是聪明的。
3.有些人说英语。
布尔逐渐认识到，在逻辑推理中，像“有生命的”“河马”或“人”这样一些词的重要之处在于它所描述的所有个体的类（class）或群体（collection）：有生命事物的类、河马的类、人的类。不仅如此，他还认识到这种类型的推理可以用一种关于这些类的代数来表达。布尔用字母来表示类，就像字母以前曾被用来表示数或算子一样。如果字母x和y表示两种特定的类，那么布尔就说，xy表示既在x中又在y中的事物的类。正如布尔本人所说的：
……假如一个形容词，比如说“好的”，被用作一个描述词，那么让我们用一个字母，比如说y来表示可以
用“好的”来描述的所有事物，即“所有好的事物”或“好的事物”的类。再令xy这一组合表示同时适用于x和y所代表的名称或描述词的所有事物的类。于是，如果x表示“白的东西”，y表示“绵羊”，则xy表示“白绵羊”；类似地，如果z表示“有角的东西”……则zxy表示“有角的白绵羊”。[13]
在某种意义上，布尔认为这种类的运算类似于数的乘法运算。然而，他发现了一个重要区别：如果y仍然表示绵羊的类，那么yy表示的是什么呢？它必定表示既是绵羊，又是……绵羊的那种事物的类。但这与绵羊的类是一样的，所以yy=y。如果认为布尔把他的整个逻辑体系都基于如下事实，即当x表示一个类时，方程xx=x总是为真，那么这样说并不过分。我们以后还会回到这一点上来。：
当乔治·布尔的第一部关于逻辑作为数学的一种形式的革命性专著出版时，他的年龄是32岁。他的阐释更为完善的著作《思维的法则》（The Laws of Thought）出现在7年以后。在布尔的一生中，这段时间是多事之秋。布尔的社会阶层以及不合常规的教育显然使他丧失了在一所英国大学任职的机会。但奇怪的是，正是爱尔兰“问题”给了布尔一个机遇。爱尔兰对英国的许多规定都甚为不满，其中有一项就是他们唯一的一所大学——位于都柏林的三一学院具有新教特色。作为答复，英国政府提议在科克、贝尔法斯特和戈尔韦新建三所大学，称为皇后学院，它们将不受宗教派别限制。尽管受到了爱尔兰政治和宗教知名人士的斥责，因为他们要求建立一所具有绝对的天主教特色的机构，但计划还是向前推进了。布尔决定向这些大学当中的一所申请职位，3年以后，他终于在1849年被任命为科克皇后学院的数学教授。
1849年前后，爱尔兰遭遇了一场由马铃薯晚疫病（一种极具破坏力的真菌疾病，它摧毁了爱尔兰的穷人们赖以生存的马铃薯作物）引起的极为严重的饥荒和病害。许多没有饿死的人也因免疫系统虚弱而被伤寒、痢疾、霍乱和回归热等传染病夺去了生命。英国的统治者
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]