作者：（美）保罗·蔡茨
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怎样解题：数学竞赛攻关宝典(第3版)试读：
版权声明
All Rights Reserved. This translation published under license. Authorized translation from the English language edition, entitled The Art and Craft of Problem Solving Third Edition, ISBN 9781119239901, by Paul Zeitz, Published by John Wiley & Sons. No part of this book may be reproduced in any form without the written permission of the original copyrights holder.
Simplified Chinese translation edition published by POSTS & TELECOM PRESS Copyright © 2019.
本书简体中文版由 John Wiley & Sons, Inc. 授权人民邮电出版社独家出版.
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探险家是迷路的人。—— Tim Cahill, Jaguars Ripped My Flesh
警探谈到接手调查一个案子时，会说“染上个案子”。一旦染上，就像得了感冒：它会耗尽患者的精神，直至发烧；或者，如果一直未破案，它就会像传染病一样，从一个警探传给另一个警探，不会放过接手过它的所有人。—— Philip Gourevitch, A Cold Case
数学在科学中最具社会性。—— Ravi Vakil（他这么跟我说）
当数学解题成为一种艺术时
作为一位数学老师，我每年都会购买大量新出版的书来学习，目的是为了让自己可以及时掌握各类考试和竞赛中出现的新题，不至于被时代所淘汰。但是，让我失望的是，在图书市场上，大部分的书不仅毫无“营养”，而且还可归为“有害垃圾”。
在当下这个快节奏社会里，大部分人似乎都只追求能快速解决问题的技术，很难沉下心来学习更为深层次的东西。在教辅书市场上，充斥着大量东拼西凑出来的“题库”。为了迎合很多“速食面”爱好者的口味，很多老师也只讲“如何快速解题”或“如何提高得分率”，对基础原理和知识框架的解释能省则省。与很多学科不同，数学是一门需要不断通过解题来获得知识的课，因此学会“怎样解题”就成了数学这门课的关键所在。关于“怎样解题”这个问题，曾经有很多数学家写过专著。
这其中，最著名的当属美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（George Pólya，1887-1985）那本畅销七十余年的经典之作《怎样解题：数学思维的新方法》。波利亚围绕“探索法”这一主题，采用明晰动人的散文笔法，阐述了求得一个证明或解出一个未知数的数学方法怎样可以有助于解决任何“推理”性问题——从建造一座桥到猜出一个字谜。该书被翻译成近二十种文字，销量超过一百万册，启发了无数人的聪明才智。
另外，我国著名的数学竞赛教练单墫教授也写了一系列的关于解题的著作，其中包括《我怎样解题》《解题漫谈》《解题研究》等书。这些图书影响了几代数学竞赛爱好者和数学老师们。我个人就是单墫教授的超级粉丝，从三十年前开始读，直到如今还在读。
如果按照道家的理论来说，波利亚更多地是从“道”这个层面来阐述，而单墫老师的解题系列则更多地是从“法”和“术”的层面来切入。“道”侧重理论，“法”和“术”侧重方法论。有道无术，容易沦为纸上谈兵；而有术无道又容易事倍功半。因此两者缺一不可。那么有没有一本将“道、法、术”三者结合得比较好的数学解题著作呢？这里我要介绍一本自己很喜欢并且深受影响的书。
这本书是由美国著名的数学竞赛教练保罗·蔡茨所写，原书名叫作 The Art and Craft of Problem Solving，直译过来是“解题的技巧与艺术”，图灵公司推出的最新中文版题为《怎样解题：数学竞赛攻关宝典（第 3 版）》。为什么要推荐这本书呢？大致有以下几点。一、作者权威。该书作者保罗·蔡茨本身就是一位经验丰富的数学老师和竞赛教练，这一点首先保证了该书的权威性。作者曾代表美国首次参加国际数学奥林匹克竞赛，并多次担任美国队的教练，具有丰富的数学竞赛执教经验，对数学奥林匹克有着深刻的理解与认知。二、选题经典。这本书将数学的统一性贯穿始终，将理论方法与经典例题相结合。书中的题目大都选自各类美国中学生数学竞赛，同时还有更高级别的国际数学奥林匹克竞赛，甚至有源自美国普特南大学生数学竞赛的题目。同时，书中还收录了俄罗斯和匈牙利等老牌数学强国的一些赛题，以及部分数学期刊上的趣味难题。这些题目经典、灵活性大、趣味性和思想性强，是很好的数学思维训练题。三、内容全面。这本书虽然不是一本关于中学生数学竞赛的系统训练教材，但从解题者的角度分别讲述了代数、组合、数论、几何和微积分等知识，基本上覆盖了中学生数学竞赛所涉及的主要知识点，大体上可以帮助那些试图在数学竞赛方面有所建树的学生在较短的时间内对知识框架有一个大概的指引。四、高屋建瓴。本书将数学解题从纯粹的技巧性，上升到了战略和战术层面，甚至还讲到了解题所应具备的心理学知识，进而把解题提高到了“艺术”的高度。这也是这本书的重点，也是我强烈推荐的原因。本书开篇就总结解题的方法论，这也是整本书的核心内容，进而通过详细的实例阐述了具体的解题战术。作为老师，我们讲究“授人以鱼”，更讲究“授人以渔”。如果说例题是“鱼”的话，那么解题的战略、战术和方法论就是“渔”。我经常讲：教，最终是为了不教。要成为一名解题高手，唯有跳出题目本身，站在更加高的层面，比如战略和战术来看解题这件事。五、通俗易懂。与很多让人望而却步的数学竞赛类书籍不同，这本书没有大量看似深奥复杂的数学公式（当然不可能完全没有），更多地是采用平实的语言来对数学问题进行描述和解释。加上作者的语言风趣幽默，大大增强了此书的可读性。可以说，这是一本非常平易近人的数学竞赛辅导材料，一本将科学性和启发性完美结合的教材。六、参考丰富。我特别推荐读者朋友们阅读本书后面所罗列的参考文献，里面有很多极为经典的数学书。有一些国内已经引进翻译出版，有些还没有。但在这个互联网极其发达的社会，我们有很多渠道可以获得这些资料。作者所罗列的每一本参考书都值得读者朋友们细细品味。
最后我想说的是，假如你想知道“解题的艺术”是怎么一回事，就读一读这本书吧！这是一本关于解题艺术的典范之作。也许，你与解题高手之间的距离，差的可能就是这本书！
应俊耀（Mr. Why 说数学）2019 年 11 月于浙江宁波
第3版译者序
数学是自然科学的基础，也是重大技术创新发展的基础，数学实力往往影响着国家实力。为切实加强我国数学科学研究，2019 年7 月 科技部、教育部、中科院、自然科学基金委共同制定了《关于加强数学科学研究工作方案》，其中提到：进行数学科普和数学文化建设，与～所数学教学有特色的中学建立对口交流联系机制，采取数学家科普授课、优秀中学生参与实习、导师制培养等方式进行挂钩指导和支持，培育优秀数学后备人才。希望本书的出版能够为数学科普、培育优秀数学后备人才贡献一份力量。 提出问题和解决问题是数学的核心，研究型数学家一辈子就在试图解决这些悬而未决的问题。本书让学生真正理解如何解决数学问题，从战略、战术和工具这三个层次进行思考。
本书第 3 版使用排版。英文版源文件缺少必要的宏定义，就此，本书编辑江志强根据排版结果倒推，补齐了相关的宏定义，使之能够从源文件编译生成 PDF 文件。这一版有如下特点：● 因为使用排版，数学公式更美观。● 保留了索引，中译本还增加了人名索引。● 遵循原书，习题使用小字号且分为两栏。● 正文中经常引用其他页码，中译本生成了正确的引用。
在翻译本书的过程中，我将发现的英文版错误提交给本书作者蔡茨教授，得到了作者的确认。因此，第 3 版中译本直接在正文中给出修改后结果，不再像第 2 版那样以译者注的形式给出勘误。（除了第 75 页例 3.2.6 的解答，由于改动较大，在第 325 页的附录中给出新解答。）
由于本人学识水平有限，译文难免有不妥之处，欢迎广大读者批评指正。有关本书中译本的勘误和建议，可访问本书网页（www.ituring.com.cn/book/2605）。本书部分问题的解题提示已翻译为中文，可到本书网页下载。
感谢本书作者蔡茨教授。感谢第 2 版译者李胜宏教授。感谢责任编辑傅志红女士。感谢执行编辑江志强，我与他经常沟通，讨论数学问题。感谢浙江大学软件学院研究生江炜琳，她帮助修改了本书的几十幅图片。最后，我还要特别感谢我的妻子王桂花，感谢她在我翻译本书期间给予的支持。
黄志斌 2019 年 8 月于福建南平
第2版译者序
多年对数学奥林匹克竞赛的研究与实践证明，科学合理地举办各级数学奥林匹克竞赛对传播数学思想及方法、培养学生学习数学的兴趣、增强学生的思维能力、丰富课外活动的内容、促进数学教师素质的提高和数学教学的改革、发现和选拔优秀人才等方面起到了积极的作用。随着数学竞赛在中国的深入开展，相关的书籍层出不穷，但大部分书都只注重对学生解题熟练性的培训或对基本知识的运用，而忽略了数学解题的真正意义与解题策略的传授。为了解题而解题，必然会使学生陷入机械的题海战术中，这与数学解题能力培养和数学奥林匹克竞赛的精神相违背。译者对此深感忧心，迫切希望能有一本让学生真正理解如何解决数学问题的辅导教材。本书正是译者为此而做出的初步尝试。
古人云：“授人以鱼，三餐之需；授人以渔，终生之用。”本书是一本既授人以鱼，又授人以渔的全面而翔实的书。书中送给读者朋友的“鱼”是大量具有代表性的例题，而“渔”则是解题过程中一次次运用的各种战略、战术和方法，这些也正是本书的核心内容。书中的每个例题的重点都放在解法的构思过程上，即如何运用特定的解题策略来分析问题，探讨解题思路，提出解题方案，并将其呈现在读者面前，让读者和作者共同经历每道题的思维探索过程，真正做到了授人以渔，并将学生从题海战术中彻底解脱出来。本书让读者徜徉在数学的浩瀚海洋中，享受数学带给他们的乐趣，理解并感受数学的无与伦比之美，正如作者所述：“解决问题的方法是可以学习和传授的，成功解决问题的关键在于心理因素和非心理因素方面的战略规划、战术方法的运用，以及对问题不受任何限制的分析。”本书作者保罗·蔡茨先生曾代表美国首次参加国际数学奥林匹克竞赛，并多次担任国际奥林匹克竞赛美国队的教练，具有丰富的奥林匹克竞赛执教经验，对数学奥赛有着深刻的理解与认知。本书精选素材，深入浅出，将理论方法与经典例题相结合，将数学的统一性这一主题贯穿于全书，并将解决问题上升到了艺术的高度。因此本书是一本通俗易懂、语言风趣，又不失科学性和启发性的教材，可作为高中数学奥林匹克竞赛的参考教材，亦可作为数学奥林匹克竞赛教学工作者的参考书。因此我们将它翻译出来以飨国内的读者。
我翻译这本书的最大愿望，就是读者能够透过翻译出来的文字，准确无误地理解原书作者的一番精心策划与安排，为自己在数学问题解决领域中取得斐然成绩开一个好头。在本书的翻译过程中，我得到了人民邮电出版社图灵公司的大力支持，在此表示衷心的感谢。鉴于本人英文水平有限，粗疏不当之处，亦望读者不吝赐教。
李胜宏 2009 年 12 月于求是园
第3版前言
这是本书十年来的第一次修订，但与第2版相比变化不大。我纠正了错误，删除无聊的问题，既增加了一些较简单的问题，也增加了一些难度较大的问题，尤其是增加更多“历史著名问题”，以此来回应读者的不同愿望。新的 4.4 节（数学游戏）是目录中唯一可见的更改。这些问题得到了大量的补充，其中有几个新的主题可以让读者进行不同程度的广泛探索。
新材料的灵感来自过去十年中我在数学界与教师和学生的交流。在这些数学问题的交流中，我们研究了许多不同的主题，从基于奇偶性的简单技巧到理解随机变量，再到依赖于数论和复数之间相互作用的深层代数发现。我试图通过这些新问题分享其中的乐趣、挫折和发现。
再次感谢本书前两版前言中提到的给予我帮助的朋友和机构。对此名单，我还要添加David Aukley、Bela Bajnok、Art Benjamin、Brian Conrey、Brianna Donaldson、Gordon Hamilton、Po-Shen Loh、Henri Picciotto、Richard Rusczyk、James Tanton 和 Alexander Zvonkin，以及美国数学研究所、班夫国际研究站、莫斯科数学继续教育中心。妻子和儿女们的包容和支持让我有力量完成本书第3版，他们还不忘提醒我，生活比数学重要。
2011 年，我应邀为 Stuyvesant 高中的 Math Survey 杂志写一篇序言“The Three Epigraphs”，1其中讨论了本书前两版中的引语，以及我对第3版（如果有第3版的话）引语的计划。我信守诺言，现在真的有了三条引语。简而言之，这些引语向学生揭示了做数学（或任何其他有意义的艺术创作）的“秘密”：迷路，迷恋，聚集！我感触良多，诚挚地把这本书献给我的学生。
1见 https://www.scribd.com/doc/93806707/Paul-Zeitz-Math-Survey-Foreward。
保罗·蔡茨 2016 年 5 月于旧金山
第2版前言
相对于第1版，本书内容做了如下变动。● 增加了有关几何的一章。这一章比较长，篇幅大约相当于组合数
学和数论两章的总和，但实际上只是对主题做了初步的介绍。诚
然，一些专家会对这一章的节奏感到不满，例如，他们会认为进
入主题太慢，特别在开始之处；此外，该章没有包含诸如立体几
何、有向长度和角、Desargues 定理，9 点圆等主题。这一章主
要是为初学者提供帮助的，所以章名叫作“美国人的几何”。我
希望这样做能够使解题新手在面对几何问题时，也能像对付离散
数学那样增添信心。● 微积分这一章有所扩展，增加了很多新问题。● 其他几个章节也增加了很多问题，特别是一些“简单”的问题。
为了在控制本书厚度之余提供新的内容，书中每节后的习题使用较小字体排成双栏。但不要想当然地认为用小字体印刷，就说明它们不如书中其他的问题重要。和第1版中一样，这些习题才是本书的核心。认真的读者至少应该仔细阅读书中每个问题的说明，并努力尝试解出它。为此，我在“Hints to Selected Problems”中增加了讨论问题的数量，可以登录网站 www.wiley.com/college/zeitz 查看。
再次感谢在本书
第1版前言
中提到的给予我帮助的朋友，此外，我还要感谢下列朋友。● Wiley 出版公司的 Jennifer Battista 和 Ken Santor，他们对本书的修订工作提出了很多指导性的意见，也没有因为本人延迟交稿而
不耐烦。● 在此也感谢 Brian Borchers、Joyce Cutler、Julie Levandosky、
Ken Monks、Deborah Moore-Russo、James Stein 和 Draga
Vidakovic。他们仔细审读校对了我的手稿，指出了书中的不少
错误，并对本书的修改提出了大量有益的建议。● 自我1992 年进入旧金山大学工作以来，Jennifer Turpin 院长以
及 Brandon Brown 助理院长就鼎力支持我从事这些非本职工
作，包括同意我在 2005－2006 学年休年假来完成这本书。● 自1997 年以来，由于经常参与当地的数学交流沙龙和竞赛，我
对解题的理解有了很大的提高。这些活动的经费大部分由数学科
学研究所（MSRI）资助，我在此要特别感谢MSRI的各位领导
Hugo Rossi、David Eisenbud、Jim Sotiros 和 Joe Buhler。同
时，我还要感谢 Tom Rike、Sam Vandervelde、Mark Saul、
Tatiana Shubin、Tom Davis 和 Josh Zucker，特别是 Zvezdelina
Stankova，他们都曾在本书的写作过程中给我提供过帮助。
最后，我还要特别感谢我的妻子和两个孩子，就像在第1版中所写的一样，希望他们能谅解我这两年总是晚睡早起。我将此书和我的爱献给他们。
保罗·蔡茨 2006 年 6 月于旧金山第1版前言
为什么要写这本书
这是一本定位于供大学生学习如何解决问题的入门书。我们假定读者具备一定的数学基础（至少懂得一点微积分），喜欢数学，并对一般的证明方法有大致的了解，但他们平时花费了大量的时间去做练习而无暇去思考问题。“练习题”一般是为了单纯测试学生对某一数学技巧的掌握程度，一般是检验对新学知识的掌握程度而设计的一类题。练习题有的容易有的有些难度，但都不会让人很为难，学生一般都清楚如何去解题。虽然要得到答案可能需要很多技巧，但学生解题的思路往往非常明确。相反，解决“问题”并没有什么特定的思路，也不可能马上得到答案。许多问题都是开放性的，看上去自相矛盾，有些甚至就无解，而在得到结论之前需要大量的分析。问题和解决问题是数学的核心。研究型数学家一辈子就在试图解决这些悬而未决的问题。在生产实践中，有能力解决一个定义晦涩的问题的人要比会（比如说）求矩阵转置的人更重要，解决后者可以由计算机代劳，但解决前者却只有靠人才。
解决问题的高手并不仅仅只是更受老板器重，有些人甚至因此进入主流的数学圈了。他们因此特别有自信心并激励了其他人。最重要的是，解题令人愉悦，真正的高手懂得享受数学带给他们的乐趣，理解并享受数学的美。
打个比方，普通的数学专业学生就像是那种一星期去健身房三次，每次都在各种运动器材上轻巧地重复同样运动的人。相反，喜欢解决问题的人则像是经常背着沉重的旅行包去徒步旅行的人。这两种人都能变得强壮，而通过解决问题锻炼的人则尝试到了冷、热、潮湿、疲劳和饥饿的感觉，他们可能会迷失方向而不得不到处寻找出路，会饱经风霜。但他们能爬到山顶，看到一般人意想不到的风景；他们能够到达奇妙而美丽的地方，更为历尽千辛万苦到达目的地而欣喜若狂；当他们回到家，会因为曾经的历险而充满活力，为曾经的经历而热情洋溢。而那些只去健身房锻炼的“温室花朵”只是在慢慢变得强壮，却不能从运动中享受到多少乐趣，也没有任何可以和别人一起分享的经历。
当前，美国大多数数学专业的学生并不善于解决问题，但还是存在着热爱解决问题的风气。很多人都是由数学俱乐部培养的，经常参加一些数学竞赛，研究那些大部分数学家认为理所当然的重要的“历史著名”问题和观点。这种爱好解决数学问题的文化氛围在部分东欧国家和一些美国城市都很浓厚。我在纽约长大并在 Stuyvesant 中学上高中，在那里我曾经是学校数学竞赛队的队长并专门学习过如何解决问题，到现在还和数学竞赛都有着不解的缘分。在高中时，我是美国首次参加国际数学奥林匹克竞赛（IMO）的代表成员，二十年后，我成为了一名大学教授，又以教练的身份辅导了最近很多届参加国际数学奥林匹克竞赛的队伍，包括1994 年我们在国际数学奥林匹克竞赛历史上取得最优异成绩的那支代表队。
但在很多人成长的环境中并没有这种喜欢解决问题的文化氛围，我在担任高中以及大学老师期间和这些想解决问题的孩子们经常接触，我相信解决问题是任何能够读数学专业的学生都能轻易学会的一件事。作为解决问题的文化氛围的倡导者，写作这本书是我首次为传播这一文化所做出的努力。我之所以决定写这本书是因为我在旧金山大学工作期间，没有找到任何类似的书。虽然现在已经有不少优秀的专门介绍数学问题的书，但我觉得光有数学问题是不够的。我写这本书的指导原则是：● 解决问题的方法是可以教授给学生并被他们掌握的。● 成功解决问题的关键在于心理因素，像信心、专心和勇气都是非
常重要的。● 对问题不受任何限制的分析至少和严格的论证同样重要。● 影响解决问题的非心理因素主要包括高度的战略规划、集中的战
术方法和灵活运用的技术工具。● 掌握大量的历史著名问题（比如抽屉原理或康威棋子问题）和精
通各种技术工具同样重要。
如何读这本书
虽然这本书编写得像是一本标准的数学教材，但它的语言是非常口语化的：它就像是一位友善的教练，不仅讲解问题，还通过各种告诫、举例和挑战来传授知识。学习这本书不需要太多的预备知识，只要掌握一点浅显的微积分就足够了，因为我把这本书的读者定位于大学数学系的学生。当然这本书也适合高中高年级学生以及各级别的自学者，特别是数学老师们。
本书的内容分成两部分。第一部分是总结解决问题的方法论，这也是全书的核心内容。第二部分包含四个独立成章的部分，即按解题者的角度分成代数、组合数学、数论和微积分四章。1为了控制全书的厚度，书中没有讨论几何方面的问题，但几何的思想却贯穿始终，并在一些地方（如4.2 节）有集中讨论。但从总体上讲，本书涉及的几何方面的内容还是相对较少的。幸运的是，现在已经出版了很多几何方面的书籍。这些书中，我认为初等几何方面的 Geometry and [16]the Imagination 写得非常好。
1为节省纸张，第2版已没再使用正式的第一、第二部分标签了。但全书的结构还是相同的，只是加了几何一章，如何读这本书，请大家见 1.4 节。
本书每一小节的结构都很清晰：（大量的）讲解、例题和问题。有些比较容易，有些稍微难些，还有一些非常难。本书的目的是教大家如何解决问题，要提高这一能力的唯一途径就是解决大量问题，独立解决一些问题并学习别人的解题方法，但并非所有的问题都是能解出的，任何时间只要是用在思考问题上都是值得的。
我希望读者在读完这本书并解决书中660 个问题中的一部分后，能有前面说过的背包长途旅行的那种感觉。读者在阅读的过程中有时不可避免地会茫然不知所措，感到非常痛苦，但是当完成这样一次旅行以后，你们的意志会变得坚强，并且欣喜若狂，而且随时准备着下一次的冒险旅行。
当然，你们还能从中学到很多数学知识——不是分割成一块块的数学分支，而是数学本身，纯粹而简单。的确，贯穿整本书反复出现的主题是数学的统一性。很多特定的解题方法都用到了将一个数学分支的问题转化为另一个数学分支的问题的技巧，比如，可以从几何角度解释一个代数不等式。
如何教授这本书
如果是一学期的课程，应该教完第一部分的内容，虽然学生不一定能够完全掌握。此外，还可以从第二部分选取一部分内容讲解。例如，如果给大学一二年级学生开设这门课可以讲解第 1-6 章；如果是高年级，则可以跳过第 5 章的大部分（除了最后一节）和第 6 章，而将主要时间用来学习第 7 章和第 8 章。
致谢
Deborah Hughes Hallet 是我近二十年事业的守护天使。没有她的仁慈和鼓励，就不可能有这本书，我也不可能成为一名数学教师。我将这一切归功于你，Deb。谢谢你！
我真的很幸运能在旧金山大学工作，在这里，我无时无刻不感到同事们的友善和支持，学生们很热爱学习，学校的领导也从各方面为教职工们提供服务。特别地，我想真诚地感谢下列朋友。● Stanley Nel 院长，他非常慷慨地帮我解决实际困难，升级我的
电脑，资助我出差。但更重要的是，他从一开始就对我写的这本
书表现出极大的兴趣，他的热情和赏识支持我度过了过去四年。● 从1992 年到旧金山大学任教开始，Tristan Needham 就是我的导
师、同事和朋友。没有他的建议和为本书的写作所付出的努力，
我也不可能完成这本书。Tristan 学识渊博，从最细微的命令到
丰富的数学史知识以及扎实的数学基础。在很多方面，我仍旧只
是个初学者，Tristan 教会我真正地深入理解数学的真相。● Nancy Campagna、Marvella Luey、Tonya Miller 和 Laleh
Shahideh想尽办法，非常慷慨地帮助我料理杂事。完全可以这样
说，没有她们的帮助和友谊，我在旧金山大学的生活可能会糟透
了。● 每天都离不了的 Wing Ng，我们系最多才多艺的教学秘书，帮助
我解决了很多问题，从修复印机到安装软件到设计版面，她的足
智多谋和大公无私的精神大大提高了我工作的效率。
在这本书中，我的很多想法都来源于我在以下两个地方给学生上课的经验：旧金山大学开设的关于如何解决问题的一学期课程，和担任国际数学奥林匹克竞赛美国队教练时讲授的课程。非常感谢我的学生们，他们给我提供了这样一个与大家一起分享数学的机会。
在担任数学竞赛教练期间，我从同事们那里学到了很多解决问题的方法。特别地，我要感谢 Titu Andreescu、Jeremy Bem、Doug Jungreis、Kiran Kedlaya、Jim Propp、Alexander Soifer，与他们的多次交流对我帮助极大。
Bob Bekes、John Chuchel、Dennis DeTurk、Tim Sipka、Robert Stolarsky、Agnes Tuska 和 Graeme West阅读了本书的手稿，提出了很多有益的修改意见，并指出了书中不少错误。由于他们的认真工作，本书在原稿基础上又有了很大改进，如果书中还有其他错误，当然由我一人负责。
本书是用 Macintosh 电脑写作完成的，在 Textures 上运行，Textures 是一个非常出色的排版程序，大大优于其他软件。2我向希望用或软件写书的人推荐该软件（www.bluesky.com）。另一个对我帮助很大的软件是 Eric Scheide 公司的索引程序，它可以自动执行大部分的索引过程。这些程序极大地节省了我的时间。欲知更多的信息，请联系 scheide@usfca.edu。
2本书中文版是用Arch Linux 操作系统，在 TeX Live 上运行排版的。 ——译者注
Wiley 出版公司的编辑 Ruth Baruth在极短的时间里帮我把模糊的想法变成了一本书，整个过程少不了她积极的鼓励、创新的提议和温和的督促。我在此对她表示真诚的感谢。我期待着将来能有更多的书奉献给读者。
我的妻子和儿子在我写书期间给予了我极大的支持。感谢他们对我的容忍，也希望他们能够原谅我这段时间对他们的忽视。正因为没有家庭上的分心，我才能够将更多的时间投入到工作中，也不会因为对工作的热爱而感到内疚。可是，如果没有我的家庭，其他任何东西（甚至是数学的美）对我来说都是毫无意义的。
保罗·蔡茨 1998 年11 月于旧金山第 1 章 本书的内容及阅读方法1.1 “练习”与“问题”
这是一本介绍解决数学问题方法的书，我们假定本书的读者为以下三类人：● 喜欢数学；● 已经很好地掌握了高中数学的内容，并且至少已经初步学习了高
等数学的内容，如微积分和线性代数；● 希望进一步提高解决数学问题的能力。
首先，什么是“问题”？我们需要将“练习”与“问题”区分清楚。“练习”是你理解且可以立即解决的问题，练习的解答是否正确取决于你对特定技巧掌握的熟练程度，但你却从不用去琢磨究竟应使用何种技巧。相反，“问题”是需要做深入思考和丰富资料收集才能找到正确方法的题目。例如，下面是一道练习。
例 1.1.1 请不使用计算器计算。
毫无疑问，你知道如何计算——只要仔细地连乘两次就可以了。而下面这个问题则深奥得多。
例 1.1.2 将
表示成最简分数形式。
乍一看，这只不过又是一个毫无新意的练习题，因为你可能认为只要将所有的99项加起来就可以得到正确答案了。但是你稍微观察一下题目就会发现一个很有趣的现象，我们首先将前几项加总化简后发现：
因此，可以猜测：对于所有的正整数，
这样，就提出了一个“问题”：这个猜测是否正确？如果是，又该如何证明？
如果你曾经做过类似的问题，并会应用数学归纳法（参见第 43 页），那么这一题对于你来讲也仅仅是一个“练习”而已了。但如果我们从没见过这类题型，那么这一题对我们来说就是一个“问题”而不是“练习”了。我们可能就需要花大量的时间尝试不同的方法来解决该问题，问题越难，需要花的时间越多，第一次尝试通常会失败，而有时多次尝试都会失败。
下面这个例子是非常有名的“户口调查员问题”。少数人认为这是个“练习”，对于大多数人来说，这是个“问题”。
例 1.1.3 一个户口调查员敲开一户人家的门，并询问屋内的妇女有几个小孩，孩子们都多大了。
该妇女答道：“我有三个女儿，她们的年龄都是整数，并且她们年龄的乘积等于36。”“这些信息还不够算出你女儿的年龄。”户口调查员回答道。“我就是告诉你她们年龄的总和，你还是不能算出她们的年龄。”“我希望你能告诉我更多的信息。”“好吧，我大女儿安妮喜欢狗！”
请问：从这段对话中，户口调查员能计算出该妇女三个女儿的年龄吗？
初看这个题目，觉得要想得到答案似乎是不可能的，因为题目中好像没有提供足够的信息来解决问题。这就是为什么我们认为这是一个“问题”，但这个问题的确很有趣。（如果你仍旧比较迷惑，可以看本章结尾处第 11 页的答案。）
如果你认为户口调查员问题太简单，那么请看下一题（答案见第 71 页）。
例 1.1.4 有一次，我请了10对夫妇来我家参加宴会，我问所有参加宴会的人（包括我妻子在内）他们和多少人握过手，结果得知每个人的握手次数都不相同，当然我没有问自己。假定没有人与自己的配偶握手，也不考虑每个人自己同自己握手，那么请问我妻子与多少人握过手？（我没有问自己任何问题。）
一个好的问题应该是神秘而有趣的。它之所以神秘是因为一开始你并不知道如何解决它，如果一个问题缺乏趣味性，你就不会愿意去思考，但如果问题非常有趣的话，你一定会愿意花费时间和精力去解决它。
这本书将有助于你去分析和解决问题！如果你缺乏解决问题的经验，那么碰到一个难题时，你会很快放弃努力，这是因为：● 也许你根本就不知道该从何着手；● 也许你已经做了些初步工作，但不知道该如何继续；● 也许你试过一些方法但都失败了，于是你放弃了。
相反，一个有经验的解题者，则知道怎样入手，他或者她1会非常有信心地用各种方法来分析问题，虽然他使用的某些方法不一定能解决问题，但至少能得到一些结果。最终，在花费了一定的时间之后，他终于解决了问题。概括地说，一个有解决问题经验的人会从如下三个不同的层次考虑问题：
1后面的章节我们将避免使用“他或者她”，而是随机选择性别。● 战略层次：掌握如何入手并分析问题的数学思想与心理策略；● 战术层次：掌握解决问题的不同阶段所使用的数学方法；● 工具层次：对特定的情形，注重特定的技巧和“窍门”。1.2 解决问题的三个层次
很多数学分支都有悠久的历史，并形成了一套自己的数学符号和语言。但解决问题并没有固定的模式和套路。2在这里，我们使用战略、战术和工具这三个词来诠释解决问题的三个不同层次。这三个词并没有标准的定义，因此准确理解它们的含义就显得非常重要。
2事实上，解决问题的理论都没有统一标准的名称，乔治·波利亚和一些专家曾使用“探索法”这一术语（例如，见文献 [24]）。登山的策略
当你站在山脚下观察如何登山时，第一步要考虑的战略就是先登上这座山旁边的几座小山，从不同的角度观察你所要爬的山。然后，你可能会考虑一个更具体的战略，或许可以尝试通过一个特定的山脊来登山。接下来就要考虑一些战术问题了，即怎样切实有效地执行战略。比如，你所选定的线路是从山的南面登山，但途中有一片雪地和一条河流，那么你就需要制定不同的战术来战胜这些阻碍。比如说越过雪地，你可以选择早晨雪地最硬的时候通过。而要渡河，则需要在河岸边观察最安全的渡河地点。最后，我们需要考虑与登山最直接相关的技术问题，即完成特定的任务所需要具备的特定技能——工具。比如，要想通过雪地，我们需要装备安全带和凿冰斧。要渡过河流则需要用绳子绑在你的腰上，再由同伴在河岸边拉着你，使你能在河水冲击下保持平衡，这些都是特定的工具技术。你不能因此总结说登山只需要安全带、凿冰斧，与同伴相互搀扶就可以了。虽然这些是必要的，但只是你登山的一小部分工作而已。相反，需要总结的是你的战略思想，有时也包括一些战术思想。例如你可以这样总结：我们决定从南面登山，途中需要越过一片很难通过的雪地和一条危险的河流才能到达山脊。
我们登山时遇到的阻碍，有一些比较容易解决，就像是你做练习题似的（当然，这也需要取决于登山者的能力和经验）。但是有些阻碍则很难解决，一旦解决则整个登山过程就非常顺利了。例如，所选择的登山路径大部分都比较容易攀登，但有一段大概 3 米长的路径则非常陡峭光滑很难通过。登山者通常把这种最关键的阻碍称为“关键点”。我们也可以把这个词用在解决数学问题上。在战略、战术、工具三个层次中都可能有关键点，有些问题有几个关键点，许多问题没有关键点。从登山到数学
我们将解决数学问题的思想和登山的策略做个比较。拿到问题，你不一定能马上解决，要不然就不能称之为问题，而只是个练习题了。首先你要有一个对题目进行分析的过程，这种分析有很多方式。最糟糕的方式是随意地用你能想到的各种方法进行试验。如果你的想象力足够丰富且掌握的方法很多，通过花费大量时间，也许最终能解决问题。但作为一个初学者，最好还是要培养自己形成一套系统的解决问题的思维方法。首先要从战略上进行思考，不要想着马上就能解决问题，而是在一个不那么专注的层面上思考问题。从战略上思考的目的就是得到这样一个计划：它可能几乎没有数学内容，但能够帮助我们解题，这正如登山的战略：“如果我们到达了南坡，我们好像就能到达山顶。”
战略上的思考有助于我们开始解决问题并继续做下去，但这只是我们需要做的实际工作的提纲，具体的工作就是如何从战术和工具两个层次来完成既定战略。
我们通过下面的例子（1926 年匈牙利竞赛题）来说明如何从三个层次来解决问题。
例 1.2.1 证明四个连续的自然数的乘积不可能是整数的平方。
解答 首先让我们从战略上理解题目的意思，即如何着手。我们知道这是一道证明题。问题通常有两种类型——证明题和解答题。户口调查员问题（例 1.1.3）就是后一类解答题。
接下来，通过观察我们发现问题要求证明某一结果不会发生。我们将问题分成假设（也称为“条件”）和结论（无论是哪种类型的问题都可以这样分）。这个问题的条件是：是一个自然数。
结论为：不可能是某一整数的平方。
将问题的条件和结论明确地叙述出来是非常有必要的，因为在很多问题中，条件和结论并不是显而易见的。在这里我们将引进一些符号，有时对符号的选择非常关键。
也许你会将注意力集中在结论上：怎样才能够使某一个整数不是平方数？这是一种战略思考，即考虑马上能直接得到结论的前提条件，我们称之为倒推法。但你会发现，我们很难找到一个标准来表达某一个数不是一个平方数，所以我们需要考虑另一战略。对任何问题，入题最好的一种战略是化抽象为具体。解决问题最好的习惯就是把思考过程记在稿纸上。我们尝试着代入几个具体的数，也许可以从中发现某些规律。让我们给设定几个不同的值，令，见下表的值。123451024120360840168017 160
你注意到了什么？问题中提到平方数，所以我们观察表格中是否有平方数，我想大家都会发现表中的前两个值都是某一整数的平方减 1，接着验算发现：
我们大胆地猜测：对任意自然数，都为某一个整数的平方减 1。证明这一猜想就是我们所要寻找的倒数第二步。因为任何等于某一整数的平方减 1 的正整数不可能是另一整数的平方。既然 1, 4, 9, 16 等平方数中不包含连续整数（平方数与平方数之间的差值越来越大），因此我们新的战略就是证明这一猜想。
为实现这一战略，我们还需要从战术和工具层面考虑问题，我们希望能证明对所有的，的乘积都是某一个整数的平方减 1，即是某一
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