作者：王鼎
出版社：电子工业出版社
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基于Taylor级数迭代的无源定位理论与方法试读：
前言
众所周知，无源定位系统是在不主动发射电磁波信号的情况下，通过被动观测站（或称传感器）测量目标辐射或散射的无线电信号参数来确定目标的位置信息的。与有源定位系统相比，无源定位系统具有隐蔽性能好、侦察作用距离远、系统成本低等诸多优势，因此近几十年来受到国内外相关学者和工程技术人员的广泛关注和研究。就现有的无源定位系统而言，其中的定位观测量主要包括空域、时域、频域和能量域四类参量，其中空域观测量包括方位角、仰角、方位角变化率、仰角变化率等参量；时域观测量包括到达时间、时间差、时间和等参量；频域观测量包括到达频率、频率差、频率和等参量；能量域观测量包括接收信号强度、信号能量增益比等参量。利用上述定位观测量可以直接建立目标位置参数（也可包括速度参数）和观测站位置参数（也可包括速度参数）之间的代数方程，通过优化求解该观测方程即可获得目标位置信息的有效估计。
需要指出的是，现有的定位观测量都是关于目标位置参数的非线性函数，因此从数学上来说，无源定位问题本质上属于非线性最小二乘估计问题。针对非线性最小二乘优化模型，一类基于Taylor级数展开的数值迭代算法应用最为广泛，该算法实质上是数值优化理论中的Gauss-Newton 迭代法。值得一提的是，与许多其他形式的无源定位算法相比，基于 Taylor级数迭代的无源定位算法几乎不受定位观测量的限制，具有较强的普适性。然而，现有的Taylor级数迭代定位算法大多是针对具体而特定的观测方程所设计的，缺乏统一的计算模型和理论框架。对此，本书较全面系统地介绍了基于Taylor级数迭代的无源定位理论与方法，旨在给出统一的计算模型和理论框架。
一般而言，影响无源定位精度的因素主要有两个：一个是定位观测量中的观测误差；另一个是定位观测方程中的系统误差。更具体地说，观测误差通常源自接收信号中所附带的随机噪声或背景噪声，而系统误差则源自多个方面，本书主要指观测站位置和速度等系统参量的测量误差。针对观测误差的影响，通常的处理方式是在非线性最小二乘优化模型中设置合理的加权矩阵。针对系统误差的影响，通常存在两类处理方式：第一类处理方式就是在算法层面尽可能地抑制系统误差的影响；第二类处理方式则是通过放置若干位置信息已知（或近似已知）的校正源去消除系统误差的影响。显然，第二类处理方式的成本会高于第一类处理方式，但却能换来更高的定位精度。综合上述讨论可知，依据是否存在系统误差和校正源的角度来划分，可将无源定位算法的应用场景分为四类：第一类是仅存在定位观测量的观测误差而没有系统误差；第二类是观测误差和系统误差同时存在；第三类是观测误差、系统误差和校正源同时存在，并且校正源的位置精确已知；第四类是观测误差、系统误差和校正源同时存在，但是校正源的位置存在测量误差。本书针对上述四类应用场景分别给出了基于Taylor级数迭代的定位理论与方法，书中的算法推导和理论性能分析并不局限于特定的定位观测量，具有较强的普适性，同时强调数学上的统一性和系统性。
全书共包括11章。第1章是绪论，对无源定位技术进行了简要概述，并对Taylor级数迭代定位方法的研究现状进行了总结。第2章是数学预备知识，包括矩阵理论和统计信号处理中的若干重要结论。第3章介绍了无系统误差条件下基于Taylor级数迭代的单目标定位理论与方法。第4章介绍了系统误差存在条件下基于Taylor级数迭代的单目标定位理论与方法。第5章介绍了校正源位置精确已知条件下基于Taylor级数迭代的单目标定位理论与方法。第6章介绍了校正源位置误差存在条件下基于Taylor级数迭代的单目标定位理论与方法。第7章介绍了基于Taylor级数迭代的多目标联合定位理论与方法。第8章介绍了无系统误差条件下含等式约束的Taylor级数迭代定位理论与方法。第9章介绍了系统误差存在条件下含等式约束的Taylor级数迭代定位理论与方法。第10章介绍了校正源位置精确已知条件下含等式约束的Taylor级数迭代定位理论与方法。第11章介绍了校正源位置误差存在条件下含等式约束的Taylor级数迭代定位理论与方法。
本书由解放军信息工程大学信息系统工程学院王鼎和张莉共同执笔完成，并最终由王鼎对全书进行统一校对和修改，写作历经2年时间，在编著过程中参阅了大量著作和论文，在此向这些材料的原著作者表示诚挚的谢意。
本书得到了国家自然科学基金—青年科学基金（项目编号：61201381）和解放军信息工程大学“2110工程”（项目编号102063和102106）的资助。此外，本书的出版还得到了各级领导和电子工业出版社的支持，在此一并感谢。
限于作者水平，书中难免有疏漏和不妥之处，恳请读者批评指证，以便于今后纠正。如果读者对书中的内容有所疑问，可以通过电子信箱（wang_ding814@ aliyun.com）与作者联系，望不吝赐教。作者2015年10月于解放军信息工程大学第1章绪论1.1 无源定位技术概述
从系统是否主动发射电磁波信号的角度来划分，无线电定位系统可以分为有源定位系统和无源定位系统两大类。有源定位系统通常使用雷达、激光、声呐等设备，需要发射大功率电磁波信号，因此极易暴露自己的位置信息，从而遭到对方电子信号的干扰，使得其定位性能受到较大限制，甚至影响到系统自身的安全性和可靠性。无源定位系统则是在不主动发射电磁波信号的情况下，通过被动观测站（或称传感器）测量目标辐射或散射的无线电信号参数来确定目标的位置或航迹信息。与有源定位系统相比，无源定位系统具有隐蔽性能好、侦察作用距离远、系统成本低等诸多优势，因此越来越受到国内外相关学者的广泛关注和研究。
根据观测站的数目来划分，无源定位系统可以分为单站无源定位系统[1～3]和多站无源定位系统[3～5]两大类，这两类系统各有其自身特点和优势。具体来说，单站无源定位系统具有灵活性高、机动性好、系统简洁、不需要站间协同、信息传输和时间同步等优点，而多站无源定位系统则能够获得更多的观测量信息，通过协同处理可以获得更高的定位精度。无论是单站无源定位系统还是多站无源定位系统，其根本任务都是通过利用位置信息已知（或近似已知）的观测站接收到来自目标辐射源或散射源的电磁波信号，并从该信号中提取出用于目标定位的观测量，从而实现对目标位置参数的估计和解算。就现有的无源定位系统而言，定位观测量主要包括空域、时域、频域和能量域四类参量，其中空域观测量包括方位角、仰角、方位角变化率、仰角变化率等参量；时域观测量包括到达时间、时间差、时间和等参量；频域观测量包括到达频率、频率差、频率和等参量；能量域观测量包括接收信号强度、信号能量增益比等参量。利用上述定位观测量可以直接建立目标位置参数（也可包括速度参数）和观测站位置参数（也可包括速度参数）之间的（非线性）代数方程，通过优化求解该观测方程就可以获得目标位置信息的有效估计。
依据关键技术来划分，无源定位研究领域可以分为两个主要方向：第一个方向是研究如何从无线电信号中提取用于定位的空域、时域、频域和能量域观测量；第二个方向则是如何基于这些观测量获取关于目标的位置信息，即目标的位置估计与解算。本书主要针对第二个方向展开讨论和研究。1.2 Taylor级数迭代定位方法研究现状
经过长达三十多年的研究与发展，国内外学者提出了大量行之有效的无源定位算法，这些算法的理论基础都能够对应某一类具体的最小二乘估计理论与方法。笔者曾在文献[6]中总结归纳出无源定位中的8类最小二乘估计理论与方法，其中分别包括：①非线性最小二乘估计理论与方法；②伪线性最小二乘估计理论与方法；③两步伪线性最小二乘估计理论与方法；④约束总体最小二乘估计理论与方法；⑤结构总体最小二乘估计理论与方法；⑥二次等式约束伪线性最小二乘估计理论与方法；⑦含等式约束的非线性最小二乘估计理论与方法；⑧双重二次等式约束伪线性最小二乘估计理论与方法。上述每一类最小二乘估计理论与方法都能够衍生出许多具体的定位算法。
需要指出的是，除了非线性最小二乘估计方法以外（包括上述第①和第⑦两类方法），其余的最小二乘估计方法（共计六类）都需要将非线性观测方程转化为与之等价的伪线性观测方程（有些可以直接转化，有些需要引入辅助变量才可以转化），这意味着这六类方法并不能对所有定位观测量都适用。事实上，由于现有的定位观测量都是关于目标位置参数的非线性函数，因此也只有非线性最小二乘估计方法能够应用于任意的定位观测量，换句话说，它具有最强的普适性。针对非线性最小二乘优化模型，一类基于一阶 Taylor级数展开的数值迭代算法应用最为广泛，该算法的本质就是数值优化理论中的Gauss-Newton 迭代法[7,8]，文献[9]首次将Taylor级数迭代算法应用于求解无源定位问题中，随后国内外许多学者提出了一大批Taylor级数迭代定位算法[10～44]。大量的理论分析和仿真实验均表明，只要 Taylor级数迭代定位算法能够收敛至全局最优解（这一点在实际计算中并不十分困难），则其收敛值的理论估计方差通常可以达到相应的克拉美罗界（Cramér-Rao Bound,CRB）。一般而言，影响无源定位精度的因素主要有两个：第一个是定位观测量中的观测误差；第二个是定位观测方程中的系统误差。更具体地说，观测误差通常源自接收信号中所附带的随机噪声和背景噪声，而系统误差则源自多个方面，本书主要指观测站位置和速度等系统参量的测量误差。
针对观测误差（第一个因素）的影响，最优的处理方式就是在非线性最小二乘优化模型中设置合理的加权矩阵，并且该加权矩阵等于观测误差的方差矩阵的逆，利用该加权矩阵能够最大限度地抑制观测误差的影响。针对不同的定位观测量，相关学者也提出了一些能够抑制观测误差的Taylor级数迭代定位算法。例如，文献[10]提出了基于角度信息的Taylor级数迭代定位算法，文献[11～17]提出了基于时差信息的Taylor级数迭代定位算法，文献[18]提出了联合角度和频差信息的Taylor级数迭代定位算法。值得一提的是，上述Taylor级数迭代定位算法均能够获得渐近最优的统计性能。
针对系统误差（第二个因素）的影响，通常存在两类处理方式：第一类处理方式就是在算法层面尽可能地抑制系统误差的影响；第二类处理方式则是通过放置若干位置信息已知（或近似已知）的校正源去消除系统误差的影响。显然，第二类处理方式的成本要高于第一类处理方式，但却能够得到更高的定位精度。在第一类处理方式中，相关学者提出了一些能有效抑制系统误差的Taylor级数迭代定位算法。例如，文献[19]在系统误差存在条件下提出了基于频差信息的Taylor级数迭代定位算法，文献[20]在系统误差存在条件下提出了基于角度信息的Taylor级数迭代定位算法，文献[21]在系统误差存在条件下提出了基于到达时间信息的Taylor级数迭代定位算法，文献[22～25]在系统误差存在条件下提出了基于时差信息的Taylor级数迭代定位算法，文献[26～28]在系统误差存在条件下提出了联合时差和频差信息的Taylor级数迭代定位算法。在第二类处理方式中，相关学者提出了若干能合理利用校正源观测信息的Taylor级数迭代定位算法。例如，文献[29～31]提出了基于差分校正（Differential Calibration,DC）技术的Taylor级数迭代定位算法，文献[32、33]在校正源存在条件下提出了具有渐近最优统计性能的Taylor级数迭代定位算法。需要指出的是，在实际应用中校正源也可能会放置在舰载或机载等运动平台上，因此其位置测量值中也可能会含有一定的测量误差，此外，当实际条件受限时，人们还会选择一些非合作式目标源作为校正源来使用，而非合作目标源的位置信息通常是难以准确获得的。针对校正源位置误差的影响，文献[34、35]还提出了能够有效抑制校正源位置误差的Taylor级数迭代定位算法。
在一些特殊的无源定位场景中，目标的位置参数还需要满足特定的等式约束。例如，在基于星载或机载平台对地面目标的无源定位系统中，目标的位置向量需要服从地球椭圆方程的约束。显然，合理利用目标位置参数所满足的等式约束可以有效地降低参数空间的自由度，从而较大幅度地提升目标定位精度。文献[36、37]提出了基于目标位置等式约束的三星时差Taylor级数迭代定位算法，文献[38、39]在校正源存在条件下提出了基于目标位置等式约束的卫星时差Taylor级数迭代定位算法，文献[40～44]则在校正源存在条件下提出了基于目标位置等式约束的卫星时频差Taylor级数迭代定位算法。
综合上述讨论可知，依据是否存在系统误差和校正源，可将Taylor级数迭代定位算法的应用场景分为四类：第一类是仅存在定位观测量的观测误差而没有系统误差；第二类是观测误差和系统误差同时存在；第三类是观测误差、系统误差和校正源同时存在，并且校正源的位置精确已知；第四类是观测误差、系统误差和校正源同时存在，但是校正源的位置存在测量误差。需要指出的是，虽然针对上述四种应用场景都存在相应的Taylor级数迭代定位算法，但现有的算法大都是针对具体而特定的定位观测量所提出的，缺少对其基础理论的系统性梳理，更缺乏统一完备的计算模型和理论分析框架。对此，本书将分别针对上述四类应用场景给出基于Taylor级数迭代的定位理论与方法，书中的算法推导和理论性能分析并不局限于特定的定位观测量，强调数学上的统一性和系统性。1.3 三种常见的无源定位体制及其定位观测方程的代数模型1.3.1 三种常见的无源定位体制简介
本小节将介绍三种常见的无源定位体制，这三种定位体制将作为本书各种Taylor级数迭代定位算法的应用算例出现在后续各章中。
第一种是针对辐射源的无源定位体制，其定位原理示意图如图1.1所示。
图1.1中的目标主动辐射某个频段内的电磁波信号，各个无源被动观测站能够接收到该信号，并对信号进行同步采样，然后再从采样到的数字信号中提取出用于定位的空域、时域、频域和能量域参量，利用这些参量就可以解算出目标的位置信息。值得一提的是，这种定位体制是最为常见的无源定位体制，通常应用于超短波或短波频段。
第二种是针对散射源的无源定位体制，其定位原理示意图如图1.2所示。图1.1 针对辐射源的无源定位原理示意图图1.2 针对散射源的无源定位原理示意图
图1.2中的目标采用无线电“静默”的方式（即不主动辐射电磁波信号）以避免被侦察方发现。为了对这样的目标进行定位，可以利用一些民用的非合作机会照射源（如广播信号、电视信号、GPS 信号、移动基站信号等），当目标位于这些机会照射源所覆盖的空间区域中时，它会将机会照射源所辐射的信号散射出去，并被无源被动观测站接收和处理，观测站从散射信号中提取出用于定位的空域、时域和频域参量，基于这些参量就可以解算出目标的位置参数。需要指出的是，从信号处理的角度来说，这种定位体制的处理难度要大于第一种定位体制，这是因为散射信号的功率通常十分微弱（甚至低于接收机的灵敏度），并且还面临着强干扰信号的影响。然而，随着信号处理技术和快速计算技术的不断发展，这种定位体制也已经逐步实用化，一些优良的实装系统已经研制成型，目前主要应用于超短波频段。
第三种是基于通信卫星的无源定位体制，其定位原理示意图如图1.3所示。
图1.3中的地面目标辐射源发射的信号被通信卫星转发至地面接收站，地面接收站能够接收到该信号，并从信号中提取出用于定位的时域、频域和能量域参量，基于这些参量就可以解算出目标的位置参数。需要强调的是，相比于前两种定位体制，这种体制能够实现对更远距离目标的定位，但也受到很多客观条件的制约。例如，它需要不同卫星之间具有共同的覆盖范围，对卫星星历（包括其位置和速度）数据有较准确的了解，同时还要求卫星安装透明转发器等。目前，该类定位体制也得到了广泛应用，尤其是在地面干扰源定位场景中。图1.3 基于通信卫星的无源定位原理示意图1.3.2 常用定位观测方程的代数模型
根据上述讨论可知，无论是哪种定位体制，被动观测站都要从采集信号中提取出用于定位的空域、时域、频域和能量域参量。下面将描述几种常用的定位观测量，并给出相应的代数模型，这些定位观测量也将出现在本书各章的定位算例中。为了便于下文描述，这里不妨将目标位置向量和速度向量分别记为和，将第m个观测站的位置向量和速度向量分别记为和（对于卫星定位体制而言，它们分别表示卫星的位置向量和速度向量）。（一）空域观测量
空域中最常使用的观测量主要包括方位角和仰角。假设目标信号到达第m个观测站的方位角和仰角分别记为θm和βm，则根据空间几何关系可得（二）时域观测量
时域中最常使用的观测量主要包括时差，值得一提的是，对于不同的定位体制而言，时差所刻画的物理含义也有所区分。
对于针对辐射源的无源定位体制而言，时差主要指目标辐射源信号到达不同观测站的时间之差。假设目标辐射源信号到达第n个观测站（辅站）与到达第1个观测站（主站）的时差记为τn，则根据几何关系可得
式中，c表示电磁波的传播速度，由于它是先验已知的常量，因此时差又可以转化为距离差，不妨用dn来表示，则有
对于针对散射源的无源定位体制而言，时差主要指机会照射源信号经由目标散射后到达观测站与机会照射源信号直接到达观测站的时间之差。假设机会照射源的位置向量为wp,0，并将第m个观测站获得的时差记为τm，则根据几何关系可得
式中，和c都是先验已知的常量，因此时差又可以转化为距离和（即目标和机会照射源的距离与目标和观测站的距离之和），不妨用dm来表示，则有
对于基于通信卫星的无源定位体制而言，时差主要指地面目标辐射源信号经不同卫星转发至地面接收站的时间之差。假设地面接收站的位置向量为r，并将目标辐射源信号经第n颗卫星（邻星）转发至地面接收站与经第1颗卫星（主星）转发至地面接收站的时差记为τn，则根据几何关系可得
式中，c是先验已知的常量，因此时差又可转化为距离差（即地面目标辐射源信号经不同卫星转发至地面接收站的距离之差），不妨用dn来表示，则有（三）频域观测量
频域中最常使用的观测量主要包括频差，它是由多普勒效应所引起的，对于不同的定位体制而言，频差所刻画的物理含义也有所区分。
对于针对辐射源的无源定位体制而言，频差主要指目标辐射源信号到达不同观测站的频率之差。假设目标辐射源信号到达第n个观测站（辅站）与到达第1个观测站（主站）的频差记为 fn，则有
式中，f0表示辐射源信号的载波频率，它和c都是先验已知的常量，因此频差又可以转化为距离差（随时间）的变化率，不妨用γn来表示，则有
对于针对散射源的无源定位体制而言，频差主要指机会照射源信号经由目标散射后到达观测站与机会照射源信号直接到达观测站的频率之差。假设机会照射源的位置向量为wp,0 （通常是静止的），并将第m个观测站获得的频差记为 fm，则有
式中，，f0和c都是先验已知的常量，因此频差又可转化为距离和（随时间）的变化率，不妨用γm来表示，则有
对于基于通信卫星的无源定位体制而言，频差主要指地面目标辐射源信号经不同卫星转发至地面接收站的频率之差。假设地面目标处于静止状态，地面接收站的位置向量为r，并将地面目标辐射源信号经第n颗卫星（邻星）转发至地面接收站与经第1颗卫星（主星）转发至地面接收站的频率之差记为 fn，则有
式中，f0和c都是先验已知的常量，因此频差又可以转化为距离差（随时间）的变化率，不妨用γn来表示，则有（四）能量域观测量
能量域中最常使用的观测量主要包括信号能量增益比，目前主要应用于面向辐射源的无源定位体制中。
根据声学和微波传播理论[45,46]可知，目标辐射源信号到达不同观测站的能量损耗因子与信号到达不同观测站的距离k次方成正比，而且常数k的选择与周围环境密切相关。从代数处理的过程来看，k的数值选择对定位算法并无本质影响，因此为了简化复杂度，类似于文献[45]和文献[46]中的处理方法，本书将k的数值设为1，此时信号能量增益比可以等效为目标与不同观测站的距离比。假设目标辐射源信号到达第n个观测站与到达第1个观测站的能量增益比记为ρn，则可将其简化表示为
最后需要指出的是，上述各类观测方程都是较为简化的代数模型，其中忽略了一些实际中可能存在的工程因素（如时间同步、大气损耗、本振频偏等）。然而，这些被忽略的工程因素并不会实质性地影响书中对各类Taylor级数迭代定位理论与方法的描述。因此，出于简化问题的考虑，本书中各章的定位算例中均采用上述较为简化的观测模型进行数值实验。1.4 本书的内容结构安排
本书可以划分为3大部分：第1部分是绪论和数学基础；第2部分是无等式约束的Taylor级数迭代定位理论与方法；第3部分是含等式约束的Taylor级数迭代定位理论与方法。
第1部分由“绪论（第1章）”和“数学预备知识（第2章）”共2章构成。第1章对无源定位技术进行了简要概述，并对Taylor级数迭代定位方法的研究现状进行了总结，此外，还描述了3种常见的无源定位体制及其常用定位观测方程的代数模型。第2章介绍了全书中涉及的若干数学预备知识，其中包括矩阵理论和统计信号处理中的若干重要结论，可作为全书后续章节的理论基础。第1部分的结构示意图如图1.4所示。图1.4 本书第1部分的结构示意图
第2部分由第3章至第7章共5章构成，主要介绍了无等式约束的Taylor级数迭代定位理论与方法，其中主要描述了4类定位场景：第1类是仅存在定位观测量的观测误差而没有系统误差；第2类是观测误差和系统误差同时存在；第3类是观测误差、系统误差和校正源同时存在，并且校正源的位置精确已知；第4类是观测误差、系统误差和校正源同时存在，但是校正源的位置存在测量误差。第2部分的结构示意图如图1.5所示。需要指出的是，在这一部分内容中单独利用了一章的篇幅介绍了多目标联合定位的Taylor级数迭代定位理论与方法。图1.5 本书第2部分的结构示意图
第3部分由第8章至第11章共4章构成，主要介绍了含等式约束的Taylor级数迭代定位理论与方法，其中仍然是针对上述4种定位场景展开讨论，但与第2部分不同的是，在第3部分中均假设目标的位置参数满足等式约束。第3部分的结构示意图如图1.6所示。图1.6 本书第3部分的结构示意图
最后需要强调的是，本书在描述各类Taylor级数迭代定位方法时均是以统一的数学模型进行叙述的，旨在揭示其背后所隐藏的统一理论框架，从而使其具有较强的可推广性。参考文献
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本章将介绍全书各个章节所涉及的若干数学预备知识，其中主要包括矩阵理论和统计信号处理中的若干重要结论。本章的内容可作为全书后续章节的理论基础。2.1矩阵理论中的若干预备知识
本节将介绍矩阵理论中的若干预备知识[1～5]，其中涉及矩阵求逆计算公式、矩阵的秩、矩阵分解、（半）正定矩阵、Moore-Penrose 广义逆矩阵和正交投影矩阵、梯度向量和Jacobi矩阵等相关内容。2.1.1矩阵求逆计算公式
本小节将介绍几个重要的矩阵求逆计算公式。（一）矩阵和求逆公式
命题2.1：设矩阵A∈Rm×m,B∈Rm×n,C∈Rn×n和D∈Rn×m，并且矩阵A、C和C−1−DA−1B均可逆，则下面的矩阵恒等式成立：
证明：根据矩阵的乘法运算法则可得
将矩阵（C−1−DA−1B）−1表示为
再将式（2.3）代入式（2.2）中可得
由式（2.4）可知等式（2.1）成立。
命题2.1得证。
根据命题2.1可以直接得到如下推论。
推论2.1：设矩阵A∈Rm×m,B∈Rm×n,C∈Rn×n和D∈Rn×m，并且矩阵A、C和C−1+DA−1B均可逆，则下面的矩阵恒等式成立：（二）分块矩阵求逆公式
命题2.2：设分块矩阵
并且矩阵A,D,A−BD−1C和D−CA−1B均可逆，则下面的矩阵恒等式成立：
证明：首先将矩阵V分块表示成如下形式：
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]