作者：柴惠文
出版社：华东理工大学出版社
格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT
工程数学试读：
前言
本书参照国家教育部高等院校经管类专业数学教学指导委员会拟订的线性代数及概率论与数理统计课程教学基本要求，及全国硕士研究生入学统一考试线性代数部分考试大纲编写而成．
本书包括：行列式，矩阵，线性方程组与向量组的线性相关性，特征值和特征向量、矩阵的相似对角化，二次型，随机事件与概率，随机变量及其分布等内容．教材涵盖了线性代数课程的教学基本要求及概率论与数理统计课程的部分教学基本要求，适合部分工科类专业（如生物、化学等）相关课程学习；同时也可作为一般本科院校各专业相关课程的教材和教学参考书．
本教材在保留传统的知识体系的前提下，以降低难度、理论够用为尺度，淡化数学抽象的理论和证明，注重具体做法和实用性、可操作性．全书编排以激发学生的学习兴趣、提高学生的学习热情、培养学生的学习方法为突破点，训练学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、运算能力以及利用本课程知识去解决实际问题的能力．教材从概念的引入到具体的例子，从定理的证明到定理的应用，力求从实际背景进行介绍和论述，并给出详尽的计算方法和丰富的例题，力求体现内容的可读性，做到由浅入深、深入浅出，便于教学和学生自学．
本书由柴惠文、姚永芳、邓燕担任主编，其中第1，2章由邓燕编写；第3，6，7章由柴惠文编写；第4，5章由姚永芳编写．全书由柴惠文统稿，三位作者相互进行认真仔细的校对．
本教材在编写过程中得到许多专家、同行的指导和帮助，并提出了许多宝贵的建议，编者在编写过程中也采纳了这些建议．马柏林教授对本书的编写给予极大的关心和支持，在此一并表示衷心的感谢．
本教材的书稿虽经过认真的修改及校对，但仍会存在一些错误或不足之处，我们衷心地希望能得到各位专家、同行和读者的批评与指正，使本书在使用过程中不断完善．编者2017年3月8日1 行列式行列式是为求解线性方程组的需要而建立起来的，是一个重要的数学工具，在物理、工程、经济等多个领域都有广泛的应用．本章主要介绍n阶行列式的定义、行列式的基本性质和计算方法，以及行列式解线性方程组的方法．1.1 2阶与3阶行列式
本节的主要目的是叙述行列式的来源．行列式是从二元和三元线性方程组的求解中引出来的．1.1.1 2阶行列式
设二元线性方程组（1.1）
用消元法解此方程组，得
当aa-aa≠0时，可求得式（1.1）方程组的唯一解为11221221（1.2）
式（1.2）给出了二元线性方程组式（1.1）解的一般公式，但它难以记忆，因而有必要引入一个符号来更方便地表示，这就有了行列式．
定义1.1 称记号
为2阶行列式，用它表示代数和aa-aa，即11221221（1.3）
式（1.3）称为2阶行列式的展开式，其中a称为2阶行列式的元ij素，第一个下标i称为行标，第二个下标j称为列标，它们表示a位于ij行列式中的第i行第j列（横排叫行，纵排叫列）.
式（1.3）可以用图1.1所示的画线方法帮助记忆．将左上角与右下角的连线（实线）称为行列式的主对角线，将右上角与左下角的连线（虚线）称为副对角线（或次对角图1.1线）．那么式（1.3）就可以被方便地表述为：2阶行列式等于主对角线上元素的乘积与副对角线上元素的乘积之差，这个方法称为2阶行列式的对角线法则．
引入了2阶行列式后，式（1.2）中的分子和分母可以分别记为
那么当D≠0时，方程组式（1.1）的解式（1.2）就可以很方便、简洁地表示为（1.4）
特别，还可以注意到其中D（j=1，2）分别是用线性方程组j（1.1）的常数项b，b取代了D中第j列元素得到的2阶行列式．12
[例1.1] 利用行列式求解2元线性方程组
解 由于
因此方程组的解为1.1.2 3阶行列式
设三元线性方程组的一般形式为（1.5）
当aaa+aaa+aaa-aaa-aaa-aaa112233122331132132112332122133132231≠0时，仍然利用消元法，可以得到方程组式（1.5）解的一般公式为（1.6）
上述表达式记起来非常困难，为此引入3阶行列式．
定义1.2 称记号
为3阶行列式，用它表示代数和aaa+aaa+aaa-aaa-aaa-aaa，112233122331132132112332122133132231
即（1.7）
式（1.7）称为3阶行列式的展开式．
在展开式（1.7）中，可以看到3阶行列式的值是3！项乘积的代数和，其中3项是正号，3项是负号，且每项都是不同行、不同列的3个元素的乘积．
式（1.7）可以用图1.2所示的画线方法帮助记忆，即3阶行列式的值等于其中三条实线联结的3个元素乘积之和与三条虚线连接的3个元素乘积之和的差，这个法则也称为3阶行列式的对角线法则．图1.2
类似二元线性方程组，记
当D≠0时，方程组（1.5）解的公式（1.6）就可以方便地表示为（1.8）
其中D（j=1，2，3）是用线性方程组（1.5）的常数项b，b，j12b替代D中第j列相应的元素所得到的3阶行列式．3
[例1.2] 计算3阶行列式.
解 由3阶行列式的对角线法则，得D=1×2×2+（-2）×1×3+3×2×0-3×2×3-（-2）×2×2-1×0×1=-12.
[例1.3] 利用行列式求解三元线性方程组
解 由3阶行列式的对角线法则，得，
由式（1.8）得方程组的解为
从以上叙述可以看出，引入2、3阶行列式的概念后，为表示和记忆二、三元线性方程组的解的公式带来了极大的便利．但是在实际问题中遇到的线性方程组，未知量往往不止三个，为把上述结果推广到n个方程、n个未知量的线性方程组
需要引入n阶行列式的定义．习题1.1
1．计算下列行列式的值．
2．解下列方程．1.2 n阶行列式
在引入n阶行列式定义的过程中，很自然地希望将2阶和3阶行列式的对角线法则推广．但是检验发现只有2阶和3阶行列式才具有对角线法则，4阶及以上的行列式并不存在对角线法则．为了解决这一问题，必须用新的规则来定义n阶行列式，这就需要先介绍排列及逆序数等准备知识．1.2.1 排列及逆序数
在排列组合中，常讨论n个不同元素排序的种数，我们这里只研究由1，2，…，n这n个不同自然数排序的相关知识．
定义1.3 由数1，2，…，n组成的一个有序数组，称为一个n级排列（简称排列）.
例如，1234及2341都是4级排列．n级排列的一般形式可记为pp…p，其中p（i=1，2，…，n）为1，2，…，n中的某个自然数，12ni且p，p，…，p互不相同．由排列组合的知识可知，n级排列的总12n数为n！．在所有的n级排列中，排列12…n是唯一从左向右看元素按从小到大顺序形成的排列，称其为标准排列；其余的n级排列都会有较大的元素在左，而较小的元素在右的现象．
定义1.4 在一个n级排列pp…p中，如果较大的元素p排在较12ns小的元素p的左侧，则称p和p构成一个逆序．一个n级排列中逆序的tst总数，称为这个排列的逆序数，记为τ（pp…p）或N（pp…p）.12n12n
例如，在排列23154中，共有2和1，3和1，5和4三个逆序，因此排列23154的逆序数为3，即τ（23154）=3.
对于一个n级排列pp…p，可以用以下两种方法计算它的逆序12n数：
方法一：将p（t=1，2，…，n）左侧比p大的元素的个数称为pttt的逆序数，并记作τ，则该排列的逆序数为tτ（pp…p…p）=τ+τ+…+τ+…+τ.（1.9）12tn12tn
方法二：观察排在1左侧元素的个数，设为m（1的逆序数），然1后把1划去，再观察2左侧元素的个数（划去的元素不再计算在内），设为m（2的逆序数），再把2划去，如此继续下去，最后设在n左侧2有m个元素（实为0），则该排列的逆序数为nτ（pp…p…p）=m+m+…+m+…+m.（1.10）12tn12tn
[例1.4] 求下列各排列的逆序数．（1）53412（2）35412（3）123…（n-1）n （4）n（n-1）…21（5）13…（2n-1）24…（2n）
解 （1）由式（1.9），τ（53412）=0+1+1+3+3=8.（2）由式（1.10），τ（35412）=3+3+0+1+0=7.（3）由式（1.10），τ（123…（n-1）n）=0+0+…+0=0.（4）由式（1.10），.（5）由式（1.9），
定义1.5 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列．
定义1.6 在一个n级排列p…p…p…p中，如果仅将它的两个元1stn素p与p对调，其余元素保持不变，得到另一个排列p…p…p…p，st1tsn这种做出新排列的过程叫做对换，记为对换（p，p）．特别地，将st相邻两个元素对调，叫做相邻对换．
在例1.4中，可以看到标准排列是一个偶排列，并且注意到偶排列53412经过对换（3，5）后，得到的排列35412是一个奇排列．事实上，我们有以下结论．
定理1.1 任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性．*
证 （1）首先讨论相邻对换的特殊情况，设原排列为…ij…，
则经过对换（i，j）后，变为新排列…ji….
由于仅改变了i和j的次序，其余元素的位置并没有改变，因此新排列的逆序数比原排列的逆序数增加1（当i＜j时），或减少1（当i＞j时）．无论哪种情况，经过一次相邻对换之后排列的奇偶性发生改变．（2）下面讨论一般情况，设原排列为…ipp…pj…，（1.11）12s
则先经过s次相邻对换，将排列（1.11）变为…pp…pij…，（1.12）12s
然后，再经过s+1次相邻对换，将排列（1.12）变为…jpp…pi….（1.13）12s
由上面的对换过程可以知道，对排列式（1.11）施以对换（i，j）得到排列式（1.13）的过程，可以分解为施以2s+1次相邻对换实现．而每施行一次相邻对换都改变排列的奇偶性，故排列式（1.11）与排列式（1.13）的奇偶性不同．可见，任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性．
下面研究在一个n级排列中，偶排列和奇排列各占多少．
定理1.2 当n＞1时，n级排列中，奇排列和偶排列各占一半，均有个．
证 n级排列的总数共有n！个，设其中偶排列有p个，奇排列有q个，则p+q=n！．如果对这p个偶排列施以同一个对换[例如对换（1，2）]，则由定理1.1知p个偶排列全部变为不同的奇排列，且都包含在那q个奇排列中，因此p≤q．同理，可得q≤p．所以
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]