作者：张友安等
出版社：电子工业出版社
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分数阶混沌系统的控制与同步设计试读：
前言
分数阶微积分将经典微积分的阶次由整数拓展到了任意实数甚至复数的情形，因此可以把它看成整数阶微积分的推广，是整体微积分的一部分。从定义上看，分数阶微积分实际上是带有Abel核函数（或幂律核函数）的第二类Volterra型微分积分方程。因此，它非常适合用来描述具有记忆和遗传性质的材料和物理过程。与整数阶微积分相比，分数阶微积分建模具有简单、精确和参数的物理意义清楚等优势。自20世纪70年代开始，分数阶微积分在机械工程、生物化学、电子工程及医学等多个学科中得到了广泛、有趣而又新奇的应用，成为备受关注的强大数学建模工具与数学分析工具。2009年10月，汤森路透集团独家授权的《科学观察》杂志将分数阶微积分评选为新兴研究前沿。2010年的美国数学分类号（MSC2010）中也增加了分数阶微积分的条目。
混沌现象作为非线性动力学系统所特有的运动形式，广泛存在于物理、化学、生物学、经济学等学科中。随着电子电路中分数阶电容与分数阶电感的出现，分数阶混沌系统成为一类典型的分数阶动力系统。分数阶混沌系统的控制与同步问题的研究引起了广大学者的兴趣。它不仅在保密通信中具有潜在的应用价值，而且可为控制律的设计和实现提供思路和动力。分数阶控制是分数阶微积分与现代控制理论相结合而产生的一种新的控制理论和方法，较早提出的分数阶控制方法有TID控制、CRONE控制、分数阶PID控制等，目前的研究主要集中在分数阶滑模控制、分数阶自适应控制、分数阶最优控制等分数阶非线性控制方法上。
本书系统地总结了作者及其合作者近年来在分数阶混沌系统的控制与同步设计问题研究中的成果。其中，第1章介绍了分数阶微积分的基本理论，包括分数阶微积分的定义及性质、分数阶微积分的几个重要定理、分数阶控制的研究现状、分数阶混沌系统的控制与同步的研究现状；第2、3章分别基于无穷状态方法和Mittag-Leffler稳定性方法针对一类新型分数阶混沌系统设计滑模控制律及自适应律；第4～6章针对分数阶统一混沌系统分别设计滑模控制律、自适应律、主动控制律；第7章基于反步控制技术，针对分数阶严反馈系统设计反馈控制律；第8章针对单输入单输出非线性系统，设计分数阶滑模控制律。
全书共8章。第4、6～8章由张友安与袁建共同编写，第3、5章由张友安、袁建与刘京茂（山东南山国际飞行有限公司高工）共同编写，第1、2章由张友安、袁建与孙玉梅（烟台南山学院教授）共同编写。全书由烟台南山学院教授张友安统稿。
本书的部分内容参考和引用了国内外同行专家、学者的最新研究成果，在此特向他们表示由衷的感谢。本书的出版得到了烟台南山学院、海军航空工程学院与电子工业出版社各级领导和朱雨萌编辑的大力支持，在此一并表示感谢！
另外，本书的作者之一袁建感谢其博士生导师时宝教授在袁建本人攻读博士研究生期间的精心指导和教诲。感谢修国众博士对书稿所做的校稿工作。
本书的研究工作，得到了山东省自然科学基金（ZR2014AM006）的支持。
由于作者在分数阶微积分领域涉足时间不长，学识水平有限，疏漏和不足之处在所难免，恳请读者批评指正。第1章 分数阶微积分的基本理论
在数学、科学及工程上，经常会用到微分和积分算子，如,,,…，这些算子的阶次是限制在整数域上的。如果阶次是分数、有理数、无理数，甚至是复数时会如何呢？在17世纪末，也就是 Newton 和Leibniz 建立微积分理论的同一时期，Leibniz 就提出了这个问题。他给L'Hospital的信中写道：“整数阶的导数是否可以推广到非整数的情形？”L'Hospital对这个问题很感兴趣，他用另外一个问题回复：“如果阶次是1/2会如何呢？”Leibniz在1695年9月30日回信说：“这样会产生一个悖论，然而这个悖论将来会产生有用的结果。”由此，非整数阶微积分成为300多年来一直在研究的一个方向。发展到今天，人们称这门学科为“分数阶微积分（Fractional Calculus）”，即将一般的整数阶微积分推广到任意阶次（非整数阶）[1]的情形。因此，分数阶微积分（Fractional Calculus）是研究任意阶次微分或积分算子特性及其应用的数学分支，是整数阶微积分的自然推广。
300多年来，分数阶微积分的发展主要集中在数学纯理论方面的研究。直到最近的20多年，分数阶微积分在很多学科中得到了大量[2]有趣而又新奇的应用。分数阶的数学模型已经成功地应用于各种领域，如机械工程（粘弹性和粘塑性理论）、化学（高分子聚合物和蛋白质的建模）、电子工程（超声波的传播）、医学领域（机械负荷下[3]人体组织的建模），等等。分数阶微积分非常适合于刻画具有记忆[4]和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参[5]数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。2009年10月，汤森路透（Thomson Reuters）集团独家授权的《科学观察》杂志将分数阶微积分确定为[6]新兴的研究前沿。在2010版的美国数学分类号（MSC2010）中也增加了分数阶微积分的条目。1.1 分数阶微积分的定义及性质1.1.1 Grunwald-Letnikov微积分定义及性质
在经典的整数阶微积分中，n阶导数与n重积分是分开介绍的。而在Grunwald-Letnikov微积分的定义方法中，可以将它们在形式上进行统一，通过统一的表达式很自然地推广到非整数的或任意阶次的微积分。
首先，考虑一个连续函数 f（t）。根据导数的定义，f（t）的一阶导数为
f（t）的二阶导数为
f（t）的三阶导数为
根据数学归纳法，得到 f（t）的n阶导数为
其中，。
将式（1-1）至式（1-4）的表达式推广为
式（1-5）中p为任意整数，n为整数。
当p≤n时，
式（1-6）指出了p取正整数情形下即整数阶（p阶）导数的统一表达式，下面考虑p取负整数情形下即p重积分的统一表达式。为方便起见，引入以下记号：
显然，两个记号与之间有如下关系：
在式（1-5）中，将p替换为-p，则根据关系式（1-8）得
正如导数情形式（1-5）至式（1-6）的做法，下面研究当h→0时的极限。
当n固定时，。为了得到非零的极限值，假设h→0时n→∞。取,的极限值可能是限值，也有可能是无穷，引入记号
式（1-9）实际上定义了一种运算或算子，该算子作用于 f（t）,a和t分别为下端点和上端点。
下面研究几种特殊的情形。（1）当p=1时，
取极限h→0，得（2）当p=2时，（3）当p=3时，
将表达式（1-10）至式（1-12）作一推广，且由数学归纳法可以证明：
不难看出，式（1-14）实际上是p重积分。
综合式（1-6）与式（1-13）可以得到，连续函数 f（t）的整数阶（p阶）导数与p重积分有相同的表达式：
由p阶导数与p重积分的统一表达式（1-14）自然联想到，将p推广到实数甚至复数的情形时，经典的整数阶微积分就演变为任意阶次的微分或积分，称为分数阶微积分。
Grunwald-Letnikov分数阶微积分具有如下性质。
性质1 分数阶导数运算是连续的，即12
性质2 分数阶微积分算子是线性算子，即对于任意的常数λ,λ，有
性质3 整数阶导数算子与分数阶导数算子有如下关系式：
特别地，若被积函数 f（t）的各阶导数在下端点取值为零，即 （k）f（a）=0，当k=0,1,……,n-1时，整数阶导数算子与分数阶导数算子满足交换律，即
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]